고도에 따른 압력 계산하기

일반적으로 물 같은 비압축성 유체의 높이(?)와 압력과의 관계는 비교적 계산하기가 간단합니다.
왜 그러냐 하면 비압축성은 압력에 상관없이 밀도가 일정하기 때문입니다.(물론 완전히 비압축성인 물질은 존재하지 않습니다.)
쉬운 예로 물 속의 압력을 계산할 때 다음처럼 계산할 수 있기 때문입니다.

p = 1 + h/10.33              (h는 깊이)

예를 들어 바다 속 250m 속의 압력은 얼마나 될 것인가를 따질 때는 대략 깊이(250)을 10(정확히는 10.33)으로 나누고 1(바다 표면에서의 표준 압력 1기압)을 더해주면 간단하게 26기압이라는 압력을 알 수 있습니다.

그렇다면 공기와 같은 압축성 유체 속에서는 어떻게 압력을 계산할 수 있을까요?
우선 공기가 모두 같은 분자량 m인 기체로 구성되어 있다고 생각하고, 이상기체 pV=nRT를 따른다고 생각해 볼 때 다음과 같은 설명도를 생각해 볼 수 있습니다.

설명도

여기서 n은 미소부피 속에 들어가는 기체분자의 몰수입니다. 계산 초기에 삭제되어 없어집니다.

설명도에서 노란 미소부피의 윗면과 아랫면에서의 압력의 차이 dp는 미소부피 속에 들어있는 공기의 (중력에 대한) 무게와 관련이 있습니다. 이상기체의 경우에 부피와 압력은 서로 반비례하는 관계이기 때문에 공기의 밀도와 압력도 똑같이 반비례 관계입니다.

따라서 식을 계산하면 log와 같은 형태의 수식으로 나옵니다. 여기서 p0는 지표면(h=0)에서의 압력으로 보통의 1기압(1atm)을 뜻합니다.

(참고로, 이 문제풀이에서는 중력이 일정하다는 가정이 포함돼 있습니다. 실제는 그렇지 않죠. 그래서 실제 중력의 고도에 따른 크기 변화를 적용되도록 풀이를 바꾸면 이 계산과 완전히 다른 결과를 얻을 수 있습니다. 계산이 그리 어렵지 않으니까, 언젠가 한번 계산해 보시길 추천드립니다.)

이 계산결과를 그래프로 그려보면 오른쪽의 그래프와 같이 나타나는 것을 알 수 있습니다.

이 수식을 정량적으로 계산해 보면 대기중의 공기의 양은 지표에서 약 10km 상공에 이르는 높이까지의 대류권에 90%가 모여있다는 결론을 얻을 수 있습니다.

실제로 우주에서 운석이 낙하할 경우에 3~90 m 크기의 운석들은 대기권에 돌입하면서 압력으로 쪼기졌다가 지표 부근에서 폭발하게 되는데, 그 높이가 수백 m ~ 수 km 사이라고 합니다.

ps. 이 문제가 오래간만에 생각이 나서 한 번 계산해 보려고 이런 저런 생각을 하면서 정리해 놨었는데, 조카가 일요일에 KMO 물리 경시대회에 나갔다 오더니 이 문제가 나왔다고 이야기하더군요. ^^; 이럴줄 알았으면 조금 더 일찍 계산해서 미리미리 조카한테 알려줄 걸 그랬습니다. ^^;

ps. 이 계산법을 실제 지구에 적용시킬 수는 없습니다. 다연히 지구는 우리가 알기 힘든 여러 요인들이 작용되고 있기 때문입니다. 온도, 습도, 바람 등등의 영향과 성분의 변화, 이온대의 변화 등등의 부가적인 이유가 존재합니다.

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