[고등학교 수학] 점화식 처리방법 (주의/수식)

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고등학교 때 다뤘던 점화식에 대한 처리방법을 다뤄보자.

고등학교 1학년 때 수학1에서 점화식을 배우는 시간…..

수학선생님이 점화식이라고 하면서 칠판에 써준 수식은 아래와 같은 간단한 것이었다.

an+1 = 2 an + 3 ,             a1 이 초항 

이 수식을 보면서 우리반 아이들이 모두 웃을수밖에 없었던 것은 우리반에 ‘문화식’이란 아이가 있었기 때문이었다. 하지만 이 점화식이 두고두고 속썩일 녀석이란 걸 우리는 그 때 알지 못했다.

점화식이란 것은 수열에서 각 항들의 관계식을 이야기한다. 일반항 an이나 일반항의 합인 항 Sn이 섞인 형태가 될 수도 있다. Sn이 추가되어 있을 경우는 보통 an = Sn – Sn-1 의 형태로 수정한 뒤에 일반항끼리의 관계식으로 계산하면 된다. Sn을 다뤄야 할 때라면 Sn에서 예외가 되는 기초항에 주의할 필요가 있다. Sn에 따라서 다르겠지만 나중에 계산된 수식에서 a1, a2, a3항 등이 일치하는지 꼭 확인해 봐야 한다는 것이 중요하다. 간혹 누락되는 부분이 있어서 특수항으로 처리해야 하는 경우가 있기 때문이다. (이 경우 수열계산의 초항을 a1으로 잡으면 안 된다.)

윗 항을 계산할 때 보통은 an을 계산하는 문제이므로…. 왼쪽 항을 an으로 맞추고 시작한다.

점화식은 이처럼 복잡할 것 같으면서도 간단하다.

점화식 문제를 풀 때는 이 방법을 적용할 수 있는지가 관건이 된다. 교과서나 참고서에 나오는 모든 점화식을 살펴보면 형태나 계산방법이 달라도 결국은 이 방법을 벗어나지 않음을 알게 된다.[footnote]점화식 속 숫자가 n에 대한 함수로 되어있는 경우에도 이 방법이 통한다.[/footnote] 다만 어떻게 이렇게 계산할 수 있는 형태로 만들 것인지나 좀 더 편한 방법은 없는지가 관건이다. 더해서 약간의 차이가 생길 수가 있는데, 양변을 각각 더하는 것이 아니라 곱하는 등의 조작이 필요할 수도 있다. 그런 건 기술적인 경험이 필요한 부분이니 적당히 알아서 연습해보기 바란다.

다른 분야에서도 이렇게 한 방법으로 풀 방법을 찾아내는 것이 수학의 본질이다. 이에 대해서 좀 연구하면 좋겠다.

나중에 대학에 진학한 뒤에 나오는 미적분학이나 행렬에서 좀 더 복잡한 점화식이 나온다. 재미있는 것은 그런 것도 대부분 위의 방법으로 풀린다는 것이다. (물론 너무 복잡해서 위 방법으로 풀다간 종이가 많이 필요해진다. 원리가 그렇다는 것이다.)
이 문제를 제대로 처리하기까지 3년이나 걸렸다고 생각하니 지나간 시간이 아깝기도 하다. ㅎㅎㅎㅎ

글 쓴 날 : 2005.11.09

2 comments on “[고등학교 수학] 점화식 처리방법 (주의/수식)”

  1. 이제 이것이 미분방정식을 풀면서 아주 중요해지죠. 여러가지 유명한 미분 방정식을 풀기 위해서 점화식 계산을 잘 해야 하는데…
    너무 오래전에 배웠네요…-_-;

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