곱셈을 덧셈보다 먼저 계산해야 하는 이유

우리는 초등학교 3~4 학년 때에 사칙연산에 대해서 배운다.
그 이전에 덧셈, 뺄셈, 나눗셈, 곱셈을 배우지만, 이들을 섞어서 배우는 것은 이때가 처음이다. 그런데 사칙연산을 배울 때 왜 덧셈과 뺄셈을 곱셈과 나눗셈보다 늦게 계산해야 하는지에 대해서 공부하거나 생각해 본 적이 있었나?
사실 부끄러운 일이지만, 이에 대해서 고민하는 사람은 거의 없었다. 물론 나도 마찬가지다.

처음 사칙연산의 계산순서를 정한 때가 언제인지는 모르겠지만, 그 누군가가 정해놨기 때문에 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈보다 먼저 계산해야 하는 것이 아닐까? 정확히 사칙연산의 순서가 결정된 것은 18세기 후반에 각종 계산기호들이 결정될 때다.
오늘날 우리가 사용하는 계산기호는 어느 누군가 혹은 어떤 단체에 의해서 결정된 것이 아니라 100여 년간에 걸쳐 많은 수식기호가 출판업자에 의해 시도되고, 그 결과로 가장 많은 사람에 의해서 지지받은 기호들로 정착된 것이다. 100년간은 사람들이 수학과 과학을 공부하기 위해서 여러 가지 표기법을 익혀야 했었다. (지금도 때때로 같은 의미의 기호가 여러 개인 것들이 있다.)
이렇게 경쟁했던 기호들 중에 대표적인 것이 ‘=’와 ‘∥’이었다. 물론 우리 모두가 알고 있는 것은 싸움의 승리 기호인 ‘=’인 것일 테고…….

그렇다면 왜 덧셈보다 곱셈을 먼저 계산해야 하는가?
그건 우리가 그렇게 결정했기 때문이다. 그리고 그 결정이 편했기 때문이다.
간단하게 우리가 수식을 사용할 때 되도록이면 간단하게 쓰이기를 원했을 것이다. 간단해야 계산도 쉽고, 책에 써 넣거나 읽기 쉽다. 물론 처음부터 곱셈을 덧셈보다 먼저 계산하자는 시도만 있었던 것은 아닐 것이다. 사용하다보니 그렇게 하는 것이 편리했기 때문에 그렇게 정착된 것이다.

오늘날 살아남은 표기들 중에서도 곱셈보다 덧셈을 먼저 계산하는 방식이나 곱셈과 덧셈 중 우선순위가 존재하지 않는 표기법도 남아있다. 대표적인 예가 컴퓨터 프로그래밍에서의 Scheme에서의 수식 표현이나 알골(ALGOL) 프로그래밍의 표현 방법이다. 이들의 속에서의 수식 표기법에서는 사칙연산의 우선순위를 완전히 대등하게 놓고 표기한다. 관습적인 표기법에 익숙한 사람들에게는 매우 불편하지만, 감정과 관습에 없는 컴퓨터가 읽고 처리하기에는 매우 편한 방법이다. ^^

(* (+ 2 (* 4 6))(+ 3 5 7)) ⇔ (2+4*6)*(3+5+7)

왼쪽 표기법에서 괄호는 모두 생략해도 된다.[footnote]표기방법에 대한 설명은 생략한다.[/footnote] 반면 오른쪽 표기법에서는 괄호를 생략하면 결과가 달라져 버린다. 우리가 보통 사용하는 수식이기 때문이다. 따라서 왼쪽 표기법에서는 사칙연산의 우선순위가 차이가 없음을 알 수 있다. 단순히 이론적인 논리학에서는 우선순위가 존재하는 표현방법과 존재하지 않는 표현방법 모두 가능하고, 실제로 아직도 많이 사용되고 있다.[footnote]Scheme 표기법은 익히기가 좀 까다롭다. 그러나 위의 두 표기를 가만히 살펴본다면 그 표기법을 쉽게 알 수 있을만큼 간단하다. 그러나 기본적인 표기법을 들은 뒤에도 표기법이 이해가 안 된다면 그동안 닫힌 생각을 갖고 살아왔다고 생각하면 될 것이다.[/footnote]

ps.
초등학생을 교육을 하는 교육자들이 학생들에게 사칙연산을 가르칠 때 가장 힘든 부분은 곱셈과 나눗셈을 덧셈과 뺄셈보다 먼저 계산하라는 것이다. 학생들의 입장에서는 왜 그렇게 되는 건지 이해가 되지 않는데 그렇게 하라고 하니 답답할 수밖에 없고, 교육자의 입장에서는 당연한 것을 못 알아듣는 초등학생들이 답답할 수밖에 없을 것이다.
하지만 위에서 이야기했듯이 교육자가 “개구리 올챙잇적 생각하지 못한다”는 속담처럼 자신이 교육받던 때의 기억을 잊었던 것이다. 당연하다고 생각한 것이 사실은 그 이외의 가능성을 감춰버리는 지우개로 작용했던 것을 미처 깨닫지 못했기 때문이다. 망각이고 습관이다. ^^;;
학생들의 의문은 4개의 연산자의 우선순위를 결정하는 조합이 꽤 많기 때문에 발생하는 것이다. 이것을 빨리 학습시킬 것이 아니라 속도가 느리더라도 정확하게 이해시켜야 학생의 미래에 더 정확한 수학실력을 갈고 닦을 수 있지 않을까?

ps. 이어서 읽어두면 좋은 글 :곱셈을 덧셈보다 먼저 계산하는 이유는?


댓글 남기기