공 두 개가 겹쳐서 튕기기 문제

얼마전에 있었던 고등학교 창의력 경시대회 문제를 살펴보니 이런 문제가 있더군요.

일정한 높이에 있는 완전히 똑같은 두 개의 공이 하나는 위, 다른 하나는 이 공의 바로 아래에서 붙어서 낙하하고 있다. 이 두 공들은 정확히 축이 맞춰져 있어서 다른 곳으로 튀기지 않고 제자리에서 다시 위로만 튄다고 가정했을 때……
이 공들이 어떻게 튀기게 될 것인가?

오른쪽 그림처럼 세로로 정확히 포개진 공을 낙하시키는 문제입니다.
이 글에서는 이 문제의 물리적 해석을 하려고 합니다.

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우선 이 문제를 분석하기에 앞서서 필요한 가정들을 살펴보겠습니다.

  1. 공들은 완전탄성충돌을 한다.
  2. 공기의 마찰이나 공기로 인해서 발생하는 요동 등은 없는 것으로 한다.
  3. 공은 강체다.

이런 가정이 왜 필요한 것인지는 다들 아시겠죠? ^^

(1) 우선 공들이 낙하를 시작하면 이 두 공은 중력의 영향으로 똑같이 등가속도 운동을 하게 됩니다. 따라서 이 두 공은 처음 위치 그대로 낙하하게 되죠.
(2) 일단 낙하하여 밑의 공이 지면에 닿게 됩니다. 그러면 밑의 공은 완전탄성충돌을 하면서 운동방향이 위쪽으로 바뀌게 되죠.
(3) 밑의 공의 운동방향이 위로 바뀌었으므로 바로 위에 존재하는 공과 충돌하게 됩니다. 이때 위의 공과는 속도는 동일하고 운동방향만 반대이므로 ……
(4) 위의 공은 밑의 공과 충돌한 결과로 운동방향이 위로 향하게 되고, 밑의 공은 지면 방향으로 운동을 하게 됩니다.
(5) 밑의 공은 지면과 충돌한 뒤에 곧바로 위로 운동방향이 바뀌게 됩니다.
(6) 위로 향하게 된 두 공은 중력에 의해서 속력이 정지될 때까지 위로 올라가게 됩니다. 중력에 의해서 서서히 속도가 느려지다가 정지하는 순간 ‘(1)’번으로 되돌아가게 됩니다.

이런 과정을 거칠 때 2~5번까지는 실질적으로 공의 이동은 없으므로 시간경과는 ‘0’입니다. 즉 한순간에 두 공의 운동방향이 밑을 향하다가 위를 향하는 것이죠._M#]

[#M_따라서 문제의 해답은 …………|따라서 문제의 해답은 ………|

두 공이 마치 한 공처럼 같이 튀면서 위아래로 튀겼다가 떨어지는 일을 반복하게 됩니다._M#]

이와 같은 운동은 이미 우리에게 익숙하게 알려져 있습니다.
[#M_추가적인 이야기|추가적인 이야기 접기|
이와 같이 2개의 쇠구슬을 낙하시키면 반대쪽 쇠구슬 두 개가 올라가는 반응을 우리는 신기하게 바라본 적이 있을 것입니다. 이와같은 반응이 가운데 정지되어 있는 쇠구슬을 지면으로 생각한다면 한쪽으로 계속 튀기는 운동을 상상하기란 그리 어려운 일은 아닐 것입니다.
위의 문제는 이 장난감을 옆으로 세워놓은 것과 다른 점이 전혀 없습니다.

그런데 만약 공의 질량이 다르다거나 일반적인 공간에서 위의 문제를 생각한다면 어떤 결과가 나타날까요?
우선 완성탄성충돌이 아니고, 공기의 저항이 존재하므로 이야기는 약간 달라져서 복잡하게 변할 것입니다. 더군다나 공이 강체가 아니면 (2)~(5) 과정이 일어나는 동안의 시간이 ‘0’이 아니라 유한한 어떤 값을 갖게 됩니다. 그럼 물리적 현상이 전혀 달라집니다. 실제로 실험을 해 봐도 알 수 있을 것입니다.

완전탄성충돌에 질량만 다르다면 (3)번의 충돌 장면에서 두 공의 속도가 달라질 것입니다. 그런 그 이후의 반응을 비교적 쉬운 충돌문제로 살펴보면 되겠죠? ^^

공기의 영향을 고려한다면 두 공이 동시에 떨어지는 일 자체가 매우 힘든 일이므로 문제를 이야기하기 이전에 여러가지 세부적인 추가내용을 필요로 할 것입니다.

실제로 비슷한 공을 동시에 낙하시킨다면 위의 공은 처음 높이와 비슷하거나 더 높이 올라가고, 밑의 공은 약간만 올라가는 것을 관찰할 수 있습니다. 왜 그런지는 모르겠지만, 강체의 운동과는 다르게 공이 찌그러지는 것이 원인이 되는 것 같습니다. ^^_M#]

이런 문제를 살펴보면 단순한 자연의 법칙들을 사용하는 일도 무척이나 복잡하고 고단함을 느끼게 됩니다.

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