두 가지 차원에 대한 고찰…

학습자료

두 가지 차원에 대한 고찰…

글 쓴 날 : 2004.07.02

제목에서 두 가지 차원이라고 말을 했는데, 한 가지는 모두 아실테고, 다른 차원이 뭘까 궁금해 하면서 들어와 이 글을 보시리라 생각한다. 어려운 이야기를 하기보다는 중요한 요점만 적겠다.
어른들보다는 이제 막 과학을 공부하기 시작한 분들에게 조금이나마 도움이 되었으면 좋겠다.

1. 수학적 차원

차원하면 보통은 1차원, 2차원, 3차원 하는 식의 공간적 차원을 들 수 있다.
이 차원은 어떠한 위치를 나타내는데 필요한 좌표의 수라고 말할 수 있다. 이 설명은 수학이나 물리학에서 공동으로 사용될 수 있는 개념이다.
실제로 ‘몇 m 전방 몇 m 상공에 비행기가 있는가?’라는 질문은 2개의 거리좌표와 1개의 각도좌표가 도입되어 3차원 내에서 비행기의 위치를 알아내라는 질문이다. 좌표계까지 들어가면 좀 어려워지는데, 굳이 설명하자면 원통좌표계를 사용한 것이다.

여기서 많이 나오는 다음과 같은 설명을 본 적 있을 것이다.


0차원 : 점
1차원 : 선
2차원 : 면
3차원 : 공간
4차원 : 시공간
그 외 다차원 공간…..

일반적으로 우리가 알고 있는 실세계(3차원)이나 우주를 연구할 때 아인쉬타인이 주장했던 4차원 때문에 많이들 알고 있을 것이다.

2. 물리적·화학적 차원
두 번째로 나오는 차원은 어떠한 물리적 화학적 양을 나타내는 차원이다. 보통은 어떤 양의 단위를 살펴보면 알 수 있다.

예를 들어 물리에서의 차원을 살펴보겠다. 거리는 1차원으로 [L]이라고 나타낸다. L은 길이의 영어단어인 Length에서 따왔다. 마찬가지로 시간은 [T], 질량은 [M]으로 나타낸다.
속도는 ‘[L][T]-1’이라고 표현한다. 이는 길이([L])을 시간([T])로 나누었다는 의미다. 이런 식으로 [L], [T], [M](질량,mass)등으로 물리량을 나타내는 것을 우리는 차원이라고 한다.

화학에서는 물리량 대신 화학식에서의 반응에 관여한 각 화학물질을 이용해서 차원을 나타낸다. 화학에서 다루는 차원도 물리에서 다루는 차원과 도입한 취지는 동일하다. 다만 사용처가 지나치게 독립적일 뿐이다. 이 글에서는 화학에서의 차원은 생략한다.

이러한 차원은 왜 중요한지 알기는 힘들다. 실제로 고등학교 공부에서나 대학교 공부에서 이 부분의 중요성을 직접 가르치는 교육자가 별로 없기때문에 그냥 시험문제 풀이 정도로 너머가곤 한다. 실제로 중요성을 알기때문에 가르치는 분들도 분명 계시겠지만 그 수는 많지 않을 것이다.^^

이 차원들을 자세하고 확실히 알아두면 좋은 점이 있다.

  1. 차원분석을 통해서 새로운 물리량의 정체를 파악하기 쉬워진다.
  2. 수식계산에 있어서 계산과정 중간에 현재 계산이 맞았는지 틀렸는지 대략적으로 알아볼 수 있다.
  3. 어떠한 계산공식을 쉽게 유도할 수 있다. 즉 외울 공식이 많이 줄어든다.
  4. 어떠한 물리적인 현상의 이해가 쉬워져서 응용이 쉬워진다.
    즉 차원분석을 통해 고려해야 하는 요소들을 쉽게 구별할 수 있다.
  5. 사고에 필요한 미지수 결정요소 등이 명확해진다.
폰 노이만이 암산으로 풀었다는 토끼와 사냥개 문제

거리 L인 두 지점에 사냥개가 있다. 사냥개는 한쪽 끝에 있는 토끼를 발견하고 토끼를 쫒고, 동시에 반대쪽에 있는 사냥개도 토끼를
향해 달려온다. 이 때 토끼가 도망가는 속도 V는 사냥개들이 쫒는 속도 v보다 빠르며, 토끼는 사냥개를 만나면 무조건 반대쪽으로
달려간다. 이때 사냥개가 토끼를 잡을 때까지 토끼가 도망친 거리는 얼마나 되겠는가?

이 문제는 유명한 극한문제다. 암산으로 풀기엔 지나치게 어렵기 때문에 대화 속에서 이 문제가 나오면 사람들은 크게 세 가지 태도를 취한다. 첫째는 극한으로 풀려고 하는 사람으로 당연히 답을 맞추기가 매우 힘들다. 두번째는 미리 포기하는 사람으로 이런 사람이 제일 많을지도…. 세번째는 문제를 간단한 형태로 변환하는 사람으로 비교적 정답을 맞출 확률이 높다.

이 문제에 대한 폰 노이만의 일화가 있는데 이는 다른 글에서 소개하도록 하겠다. 아무튼 중요한 점은 이런 문제를 분석해서 쉬운 풀이방법을 발견할 때 차원분석이 매우 요긴하다는 점이다.

이상 두서없이 두 가지 차원에 대해서 말씀드렸다.

이미 공부를 끝내신 분들이야 상관할 바 아니지만….
이제 막 공부를 시작하는 분들은….. 사소해 보일테지만 차원을 놓치지 말고 하나하나 신중히 익혀나가기 바란다.

다른 것은 몰라도 공부에서는 거북이가 충분히 토끼를 따라갈 수 있으니까.^^

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