빗방울의 낙하와 종단속도

이 글에서 나오는 내용은 대학교 1학년 수준이다.
여기서 이 내용을 다루는 것은 꼭 수식이 아니라도 중고등학생이 이 개념을 알아두면 공부에 도움이 많이 될 것이라는 의미에서 다루는 것이다. 물론 대학생이 이것을 본다면 당연히 수식 정도는….

빗방울이 공기 속에서 움직일 때는 점성저항과 압력저항을 받는다.
점성저항은 유체의 점성 때문에 생기며, 속도에 비례하여 나타난다. 압력저항은 움직이는 물체의 앞쪽과 뒤쪽의 압력차이 때문에 생기며, 속도의 제곱에 비례하여 나타난다. 이 두 저항을 모두 포함시켜서 계산할 수 있지만 점성저항만 고려하는 것이 훨씬 쉽게 풀린다. 이 글에서는 빗방울이 떨어질 때의 속도와 그에 따른 종단속도의 개념에 대해서 말해보고자 하는 것이므로 간단하게 점성저항만을 고려해 보겠다.

마찰력은 움직이는 방향의 반대방향으로 작용하고, 중력은 땅 쪽을 향하므로 오른쪽 그림과 같이 땅 쪽으로 힘이 작용한다. 여기서 이 두 힘이 같아지면 물방울이 등속도 운동을 하게 된다.

빗방울의 질량 : m, 점성저항 계수 : b, 빗방울의 낙하속도 : v, 중력가속도 : g

계산 도중에 가속도 a를 위치 x로 나타내지 않고 속도 v로 나타내서 dv/dt로 계산했는데 x로 나타내도 계산을 못하는 것은 아니지만 굳이 복잡하게 계산할 필요는 없으니까 간단한 방법을 택한 것이다.

계산의 결과를 살펴보면 지수함수가 포함되어 있다는 것을 알 수 있다.
만약 시간이 무한대( ∞ )만큼 흐른다면 이 속도는 mg/b에 계속 가까워질 것이다. 그렇지만 결코 이 값이 될 수 없다.(upper band) 고등학생이라면 이 개념에 대해 이미 수학시간에 배웠을 것이다. 점근선이다.

우리는 이 mg/b의 값을 종단속도라고 부른다.
우리가 하늘에서 내리는 빗방울을 볼 때는 이보다는 느리지만 거의 이 속도로 떨어지며 등속운동처럼 보일 것이다. 이러한 종단속도는 매우 의미있는 물리적인 개념이다.

다음에 쓰여질 글의 미분방정식 계산에서는 속도의 점근(종단속도)이 아닌 위치의 점근을 보게 될 것이다.


참조 : 대학생들에게

1. 물방울을 완전한 구형이라고 생각하면 물방울의 표면적은 점성저항 상수 b와 비례할테고, 물방울의 부피는 물방울의 무게 m과 비례할 것이다.
그렇다면 종단속도를 물방울의 반지름 r과 물의 밀도 ρ로 나타낼 수 있지 않을까??
물방울의 크기와 종단속도의 관계를 한번 연구해 보기 바란다. ^^

2. 만약 마찰력이 점성저항 뿐 아니라 압력저항도 존재한다고 가정하면 이 계산이 어떻게 변하겠는가?
계산이 조금 더 복잡할 뿐이므로 이도 한번 연구해 보기 바란다.

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