용수철에 매단 물체의 원운동 문제

문제 1
길이 L, 용수철상수 k인 용수철의 한쪽은 고정시키고 반대쪽에 질량 M인 물체를 연결한 뒤 중력에 수평인 2차원 평면에 올려두었다.
실험하기 위해서 에너지 E를 주었을 때 원운동을 한다고 한다.
이 때 주기를 주어진 물리량으로 구하시오.
(용수철의 질량과 마찰은 무시한다.)

그냥 웹서핑 도중에 생각난 문제다. 이 문제를 어떻게 푸는 것이 가장 쉬울까??
문제는 주어진 에너지 E가 운동에너지와 용수철의 위치에너지로 나뉜다는 것인데, 이 비율만 알 수 있으면 원운동의 주기 구하는 방법으로 쉽게 풀 수 있다. 이 비율을 어떻게 구할 수 있을 것인가? 막연히 풀라는 것보다 가장 쉽게 풀려니 어렵다.

문제 2
길이 L, 용수철상수 k인 용수철의 한쪽은 고정시키고 반대쪽에 질량 M인 물체를 연결하여 매단다.
이 물체를 약간 흔들어 이 용수철진자가 흔들리고 있을 때 진자의 주기와 용수철의 주기가 같게 만들려고 한다.
어떤 방법을 사용해야 하겠는가? 또 그것을 만들기 위한 구체적인 수치를 주어진 물리량을 이용해서 구하시오.
단 질량 M과 용수철 길이 L의 크기는 융통성 있게 생각하자.
(용수철의 질량과 마찰은 무시한다. 중력가속도는 g다.)

간단히 생각하기엔 용수철의 길이를 적당히 늘리거나 물체의 질량 M을 조절하면 가능할 것 같다.
문제는 길이가 변하는 단진자의 주기를 계산하는 것이 지독히도 힘들다는 점이다. 특히 단진자 위상과 용수철 운동의 위상 차이가 운동결과에 어떤 영향을 미칠지에 대해서도 고려해야 한다. (일반적 해답을 구하고자 한 것이 아니므로 특정 상태 하나만 특정해서 풀이할 수도 있을듯 싶다.
어쩌면 아주 복잡한 미분방정식을 풀어야 할지도….

질문 3
길이 L, 질량 M인 균일한 금속판이 있다.
이 한 쪽 끝을 고정시키고 다른 쪽 끝을 변위 x만큼 잡아당기기 위해서는 힘 F가 필요하다.
이 판의 중간을 x만큼 당겼다가 놓았을 때 판이 진동하는 주기를 구하라.

변위가 매우 작을 때 금속판은 용수철로 사용할 수 있다. 그러나 변위가 커지면 단진자 주기운동처럼 일반적인 용수철이 만족하는 후크의 법칙을 따르지 않을 수도 있다. 단진자 주기운동은 물리적으로 풀이할 때 사실은 매우 복잡하다. 그렇다면 판스프링은 어떤 형태의 운동을 할 것인가에 관련된 문제다.
그 때문에 탄성계수를 주지 않고, 변위와 힘을 준 것이다.
과연 일반 스프링과 같은 결과가 나올까?

문제 1은 고등학교 수학으로 어렵지만 풀 수 있을 것이라 생각된다. 그러나 문제 2는 고등학교 일반역학으로도 결코 쉽게 풀리지 않는다. 문제 3은 공학 공부하신 분들 중에서 이미 알고 계신 분들이 많으실듯 싶다. 문제는 질량 M인 용수철을 자체진동시킬 때의 문제와 비슷할 것 같다. 이는 물리계 모델(model)의 확장이라는 측면에서 바람직할 것 같다.
과연 내가 지금 풀 수 있을까? 문제는 나도 이제 물리 계산은 다 잊었다는 거…ㅜㅜ
나도 풀려고 노력하겠지만, 누군가 풀어줬으면 좋겠다. ㅎㅎㅎ
근데 내가 떠올린 문제를 놓고 내가 풀이방법에 대해서 쓰려니 이것 또한 참 어렵다. 왜냐하면 문제 자체의 맹점이 있을 수 있는데, 그게 나에게는 안 보이기 때문이다.

12 thoughts on “용수철에 매단 물체의 원운동 문제

  1. 라그랑지안을 세워 보면 됩니다. 언젠가 한번 풀어 보도록 하지요.

  2. 1번은 위 댓글 처럼 라그랑지안을 생각해서… 그게 아니더라도 그럭저럭 풀이가 될 것 같은데…
    2번 문제는 글쎄요… 운동의 시작과 끝을 알 수 없어서… 랑그랑지안을 생각하기 어려운 것 같은데요… 오히려 물리적 의미가 좀 더 선명한 뉴턴식으로 푸는 게 좋을 것 같다는 생각입나다… 진자운동은 두개의 이상적 스프링의 주기운동으 합으로 생각하고 여기의 본래 스프링의 주기 운전을 고려하는 것이 어떨까…싶네요…주어진 물리량들을 고정해도 답이 여러개 있을 것 같다는 생각이….
    3번은 판의 진동주기는 어떤 경우에는 일정하지 않을까 싶네요….
    이상…그런데…제 머리가 굳어서 좋은 풀이는 아는 듯 싶은데… 풀이 좀 올려주세요…

    1. 물리 문제의 답이 여러개 있으면 Chaos이거나 틀렸거나 둘 중 하나인데말이죠…

    2. 모든 경우를 가정하면 문제가 안 풀리니까…. 그러니까 규칙성 있는 경우(두 요소의 주기가 같은 경우)만 생각해서 풀어야 한다고 생각한거죠.

    3. 가만히 있으면 이글은 더 이상 댓글이 달리지 않겠죠… 하지만.. 제가 좀 찝찝하기에… 댓글 달아 봅니다… 결론적으로 저 위에 제가 단글 …헛소리입니다…
      물론 처음 댓글 달때 헛소리인걸 알고 단 것은 아니고요…(심각하게 고민해본 것도 아니지만…)… 이상적 스프링으로 바꿔생각하다고 하는 아이디어는 계산의 별로 도움이 되지도 않고.. 정말 그렇게 해도 되는지 의심스럽기도합니다…
      그리고 2번 문제도 라그랑지안으로 계산하는 것은 좋다는 Snowall님의 말이 백번 옳습니다… 저도 댓글을 달고 얼마 후 그런 사실들을 깨달았지만… 낯뜨겁기도 하고 좀 바쁘기도 하고 해서… 그냥 잠자코 있었습니다… 제 댓글이 헛소리라는 것을 Snowall님은 파악하신 것 같은데… Snowall님이나.. 그 글은 본 다른 분이나… 크게 면박을 주지 않으니…감사할 뿐입니다…
      그냥 뭍어둘려다… 찝찝해서… 정리합니다…

    4. 제가 책펴들고 손수 계산해본게 좀 오래되긴 했지만… 기본개념에서 조차… 이렇게 허술했는지는…. 좀 부끄럽넫요… 덕분에 예전 책들 좀 펴들고… 반성했습니다.
      부수적 결과로 알게된 2번 문제 운동방정식 올립니다… 이 미방을 풀면 주기를 알 수 있겠죠… 그러나 적어도 저는 못 풀겠습니다…

      mo(r”-r(a’)^2)+k(r-ro)=mo*g*cos(a)
      mo*r(r*a”+2r’a’)+mo*g*(r-ro)sin(a)=0
      (r : 진자(스프링)의 길이 , a : 진자의 각도)

      바로 라그랑제 방적식을 적용한 것입니다…

    5. 헉.. 진짜 만드셨군요.
      근데 수식을 잘 못 알아보겠습니다. 알아보기 쉽게 수정 좀 부탁드릴께요.
      감사합니다.

    6. 연립미분방정식입니다.
      변수는 r 과 a 물론 동시에 r과 a는 시간의 함수입니다..

      첫번째식
      mo * (r”-r * (a’)^2)+k*(r-ro)=mo*g*cos(a)

      mo:진자무게,r” :변수 r의 이계도함수 d(dr/dt)/dr
      a’: 변수 a의 도함수 = da/dt
      k : 스프링상수
      ro : 스프링의 초기 길이
      g : 중력가속도

      두번째 식은
      mo*r(r*a”+2*r’*a’)+mo*g*(r-ro)*sin(a)=0
      (r : 진자(스프링)의 길이 , a : 진자의 각도)

      두 미방을 연립해서 풀어서
      r(t) 와 a(t)를 구하고
      두변수의 주기가 같다고 하면 주기가 같기 위한 물리량들의 상관식이 표현되겠죠…

      그럼 이만… 총총….

    7. 우와… 너무 어렵군요.
      역시 대학교 때처럼 포기해야 하는 것일까요? ㅜㅜ

    1. 3번의 경우 어떤 경우에도 일정하죠. 근데 그게 후크의 규칙을 만족하는지에 대한 이야기입니다. ^^
      글 표현이 좀 부정확했나요?

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