고등학교 때 배워야 하는데 빠진 외적 이야기…

[고2~3 대상][주의/수식]

외적

외적은 현재 고등학교 과정에서는 생략되어 있는 개념이다.
아마 현재 고등학생들은 대부분 모를 것이라고 생각한다. 하지만 대학교 때 외적을 배우면서 왜 이 계산이 고등학교 과정에서 빠져있는지 이해할 수 없었던 것 중 하나다.
이 글에서는 외적에 대한 정의와 간단한 계산방식을 소개하고자 한다.
올해 수능을 보고 심심한 사람들은 간단히 대학교 교재를 먼저 살펴봐도 도움이 될 것이다.

외적이라는 것은 벡터 두개를 연산하여 새로운 하나의 벡터를 만드는 계산을 말한다. 물론 아무렇게나 새로운 벡터로 만드는 것은 아니고, 엄밀한 규칙이 존재한다.
외적이 어디에 쓰이느냐 하면… 가장 많이 들어봤을 플레밍의 오른손법칙 같은 물리학에서의 전자기학에서 이미 접했을 내용일 것이다.
일반적인 산술계산은 곱셈에 대해서 앞뒤 순서가 바뀌어도 결과에는 영향이 없다는 것을 잘 알 것이다. 하지만 외적은 그렇지 못하다. 그 이유는 외적의 정의를 살펴보는 과정에서 자연스럽게 다루게 될 것이며, 그 과정에서 수식계산이 반드시 동반되는데, 이것을 쉽게 할 수 있을지 좀 걱정이 된다.


외적의 정의

외적의 뜻은 기하학적인 측면에서 따져야 쉽게 접근할 수 있을 것이다.
단순하게 말로 하자면….

두 개의 벡터에 모두 수직이고,
크기가 두 개의 벡터로 이루어진 평행사변형의 넓이와 같은 벡터

라고 할 수 있다.
여기서 외적을 계산하기 전의 벡터와 외적이 모두 수직이 된다는 것은 매우 중요한 성질이므로 꼭 기억해두자!

이 외적의 특징은 1990년도 학력고사에서 출제된 적이 있다. 외적은 교육과정상 제외되어 있으므로 직접 외적으로 구하라는 문제는 아니었고, 두 개의 벡터를 제시하고, 그 벡터에 동시에 수직이고, 크기가 평행사변형의 넓이와 같은 벡터를 구하라는 문제였다.
(객관식 문제였으므로, 약간 벡터에 대해 아는 사람이었다면 보기에 주어진 벡터를 주어진 벡터와 내적해서 ‘0’이 나오는 보기를 구했으면 출제의도와 상관없이 쉽게 답을 골랐을 것이다. ^^;;;)


외적의 수식계산

외적을 계산하기 위해서는 아무래도 수식계산이 복잡해질 수밖에 없다. 고등학교에서 거의 안 다루는 3X3 행렬을 계산해야 하기 때문이다.(어쩌면 이 3X3 행렬을 다루지 않게 하기 위해서 고등학교 과정에서 외적을 제외했는지도 모르겠다.)

우선 이 수식은 대부분 알 것으로 생각한다.

2X2 행렬의 절대값을 구하는 수식이다. 행렬의 고유방정식을 구할 때 이미 익숙해진 숫자일 것이다.
행렬의 절대값은 행렬의 괄호 대신 막대기를 사용해서 나타낸다. 반면 3X3행렬의 경우에는 좀 더 복잡하다.

좀 복잡해 보이지만, 평면이 아닌 공간 속에서 나타내는 외적은 3차원 행렬이 될 수밖에 없다.
이것을 알고 있으면 외적을 구하는 것도 쉽게 할 수 있다.

절대값 계산하는 것과 거의 동일하다는 것을 알 수 있을 것이다.
이 수식에서 x,y,z의 위에 꼬깔이 붙은 것은 각 축으로 향하는 단위벡터이고 ‘핫'(→영어로 모자)이라 읽는다.


외적을 다룰 때 주의할 점

이 글에서는 두 개의 벡터를 이용해서 외적을 계산하는 수식을 소개했다.
외적은 과학을 공부할 때 이용될 개념들이므로 잘 알아두도록 하자. 외적이 주로 쓰이는 곳은 전자기학과 회전체 운동(각운동량이 외적의 형태로 형성됨)이지만, 사실상 전 역학부분에서 골고루 쓰이는 연산자(×)로 쓰이므로 아주 잘 알아둬야 할 것이다. (특히 물리학을 공부하자면……)

여기서 주의해야 할 점은 연산의 순서에 따라서 결과가 달라진다는 것이다.
예를 들어서 A×BB×A의 계산결과는 정 반대가 된다는 것이다. 위에서 소개해준 수식을 이용해서 잠깐 살펴보면 쉽게 알 수 있을 것이다. 마지막 수식의 두 번째와 세 번째 줄을 바꾼 것과 같은 수식이 되는데, 2차 행렬의 절대값으로 분해된 뒤에 따져보면 윗줄과 아랫줄이 뒤집히면 숫자의 부호가 바뀜을 쉽게 알 수 있다. 기하학적으로 살펴보면 더욱 더 간단해진다.

두 같은 A와 B벡터에 대해서 AxBBxA는 방향이 반대로 바뀐다.(부호가 바뀐다.)
여기서 x축과 y축 벡터 XxY는 z축을 향하는 벡터가 된다는 것을 생각하면 약간은 외우기가 쉬워질 것이다.
물리학 법칙의 근간을 이루고 있는 공식에서 최초에 제시되는 성분들의 순서를 꼭 바꾸지 말고 외워둬야 한다는 것에 절대~절!대!로! 주의해야 한다.


이 글에서는 별 것 없는 내용이 들어있다. 하지만 이 글에서 소개한 것들을 잘 알아두면 과학을 공부할 때 여러모로 도움을 받을 수 있을 것이다!!

3 thoughts on “고등학교 때 배워야 하는데 빠진 외적 이야기…

  1. 1학년인데 고등학교때 안배워가지고
    대학생되서갑자기배워 막막했었는데…
    매우감사합니다 ㅎㅎ

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