편미분과 전미분

우리가 고등학교 때부터 배우는 미분이라는 학문은 매우 중요하다. 그리고 이 중요한 요소를 다루는데 있어서 우리는 두 가지 분야가 있다는 것을 알고 있다. 바로 편미분과 전미분이다.

고등학교의 미분은 변수 x와 y가 있을 때 dy/dx 또는 dx/dy로 나타낸다. 여기서 dx와 dy의 분리는 개념적으로는 허용되지 않지만, 실질적으로 분수의 분자와 분모와 같이 생각하고 사용해도 하나도 문제가 될 것이 없다. 고등학교에서는 오직 이러한 미분만 배운다.

고등학교에서 이러한 하나의 미분만 다루는 것은 고등학교에서는 변수를 대부분 두 개만 사용하는 함수를 다루기 때문이다. 물론 꼭 그렇지는 않은 경우도 존재하지만 우리는 그런 경우에도 같은 원리로 해결하라고 학습한다.
함수 f(x,y)가 존재할 때 df/dx나 df/dy를 계산하는 것을 말한다. 일반적으로 df/dx=(df/dy)*(dy/dx)와 같은 형태로 변형해서 계산한다.[footnote]엄밀히 말하자면 이 계산은 틀린 것이지만, 고등학교에서는 그냥 이런식으로 사용한다.[/footnote]

대학교에 들어와서 미적분을 공부할 때 가장 먼저 부딪히는 어려움 중 하나가 편미분의 개념을 받아들이는 것이다. 편미분은 우리가 집중하는 한두 가지 변수 이외의 변수는 마치 상수처럼 취급하는 것을 말한다. 한 편만을 고려한다는 의미에서 우리는 이러한 미분에 편미분이라는 이름을 붙여준 것이다. 고등학교 미분에서 편미분을 다루지 않는 이유가 여기에 있다. 기껏해야 변수 2개만 나오는 고등학교 수학에서는 편미분을 다룰 필요가 없는 것이다.

고등학교 수학에서 편미분을 사용하면 편한 경우가 딱 한 가지 있다. 물론 더 뒤져보면 많이 나오겠지만, 내가 공부하면서 찾은 것은 딱 한 가지 뿐이다.
그것은 공간도형에서 공간상으로 뒤틀린 만나지 않는 두 직선간의 거리(최단거리)를 구할 때 편미분을 사용하면 고등학교에서 배우는 방법[footnote]고등학교에서는 직선간 거리를 구할 때 두 가지 방법으로 구하는데, 한가지는 완전제곱식으로 변환시켜서 구하는 것이고, 다른 한가지 방법은 함수의 최대최소값을 이용하는 방법이다.[/footnote]과 비교해서 비교적 쉽게 계산할 수 있게 된다.


편미분과 상반되는 개념인 전미분을 접할 기회가 거의 없는 이유는 우리가 전미분을 접하면서도 전미분이라고 부르지 않기 때문이다. 내가 전미분이라는 말을 처음 들어본 것도 대학교에 입학한 뒤였으니까 일반적으로 전미분이라는 말을 고등학교 이전에 들어볼 기회가 별로 없을 것이다.

전미분은 함수안의 모든 변수를 고려하는 것을 말한다. 예를 한 가지 들어볼까 한다.

뉴턴의 유명한 방정식 하나… 누구나 알고 있는 것이 있는데 ‘F=ma’라는 것이다. (F는 힘, m은 질량, a는 가속도) 누군가가 가속도의 법칙이라고 불렀었나?
고등학교 3학년 때 미적분 막 배웠을 때 이 공식을 다음과 같이 나타낸다.

F = m*(d2x/dt2)

아주 자연스러운 것처럼 보이는 이 공식이 사실은 한 가지 문제를 품고 있다고 누가 생각할 것인가? 이 문제는 바로 질량 m이 갖고 있는 문제다. 일반적인 생각으로는 질량은 변하지 않을 것처럼 보이지만, 실제로는 질량이 변하지 않는 것은 별로 없다. 예를 들자면 로켓이 가장 큰 예일 것이다. 거창하게 NASA같은 곳에서 쏴올리는 우주왕복선을 생각할 것도 없이 초등학교에서 만들어보는 물로켓만 생각해도 된다. 물로켓은 날아가면서 물을 뒤로 뿜어내기 때문에 질량은 계속해서 줄어든다. 그러므로 저 공식으로는 물로켓이 날아가는 것을 설명할 수가 없게 된다. 이는 질량 m을 상수로 봤기 때문에 나타나는 현상이다. 옳게 표현하자면….

p = mv = m*(dx/dt)
F = dp/dt = d(m*(dx/dt))/dt = (dm/dt)*(dx/dt) + m*(d2x/dt2)

∴ F = (dm/dt)*(dx/dt) + m*(d2x/dt2)


결국 처음 생각했던 것에 질량이 변화하는 한 항이 더 붙어야 좀 더 제대로 된 결과를 얻을 수 있다. 물론 m이 시간에 대해 변하지 않으면(상수이면) 새로 추가된 항은 0이 되어 앞의 수식으로 되돌아갈 것이다.

위의 예에서 볼 수 있듯이 뒤에 계산한 F를 우리는 전미분이라고 부르고, 앞에 계산한 것을 편미분이라고 부르는 것이다. 앞의 수식에 편미분을 사용하는 것은 은연중에 알지 못하고 사용하는 예라고 할 수도 있을 것이다.

우리는 수학적으로 편미분을 말할 때 ∂[footnote]르장드르가 만든 표기법이다. 뉴튼의 방식은 사실 상당히 사용하기가 불편하다.[/footnote]을 사용한다. 앞의 수식을 정확히 표현하자면 다음과 같이 될 것이다.

p = mv = m*(∂x/∂t)
F = ∂p/∂t = ∂(m*(∂x/∂t))/∂t = m*(∂2x/∂t2)

m은 편미분에서 상수로 취급해서 관련항이 사라진(0으로 된) 것이다.

[#M_ps.|ps.|
이렇게 우리는 미분을 수학적으로는 편미분과 전미분으로 나눌 수가 있다.
하지만 편미분을 진도상 늦게 배우기 때문에 미분이라 하면 전미분만을 생각하게 되는 것이다. 정말 주의할 것은 우리 일상생활 속에서 이 세 가지 용어(미분, 편미분, 전미분)가 많이 혼용되고 있으니 생활 속에서는 혼용하더라도 그 기본적인 뜻은 정확히 알아야 할 것이다.

고등학교에서 배우는 미분을 편미분이라고 착각하는 그런 일은 없어야겠다.
편미분은  (표기법부터가 달라서….) 비교적 구분이 쉽기 때문에 많은 분들이 정확히 알고 있고, 따라서 편미분의 이름을 착각하면 다른 사람들과 의사소통하는 사람들이 많아지기 때문이다. 특히 고등학교에서 미적분을 접하지 못하고 대학에 진학하여 접한 문과생들의 경우엔 특히 조심해야겠다._M#]

4 thoughts on “편미분과 전미분

    1. 수학은 정말 어려운 거 같아요.
      특히 저도 수학을 손 놓은지 10년정도 되다보니 더 잘 모르겠네요. ㅜㅜ

  1. 마지막 부분은 좀 수정해야 되지 않을까합니다….

    P = f(m,v) = mv
    dP = ∂f/∂m * dm + ∂f/∂v * dv -> 전미분형태
    dP/dt = ∂f/∂m * dm/dt + ∂f/∂v * dv/dt = v * dm/dt + m * dv/dt
    = v * dm/dt + m * (d^2x/dt^2)

    운동량 P는 변수 m, 과 v (또는 s)의 함수로 보아서 편미분을 생각할 수 있지만…
    m 과 v(또는 s)는 t 만의 함수로 간주하므로… 편미분 기호를 쓰는 것은 적당하지 않은듯….

    1. 지적 감사합니다.
      에삼초이 님 말씀대로 제 표기법이 완전히 정확한 것은 아닙니다. 하지만 위의 글은 전미분과 비견되는 편미분 개념을 모르시는 분들을 위해서 살짝 맛을 볼 수 있도록 설명해 둔 정도로 생각해 주시면 좋겠네요.

      그리고 m과 v는 꼭 t만의 함수로 볼 수는 없습니다. 이게 상당히 복잡해서 에삼초이 님의 풀이가 또 정확한 것이 아니고 좀 더 복잡해져 버립니다.
      그래서 위 글에선 취지에 어긋난다고 생각해서 조금 단순화 시켰어요.

      실제로 대학교 물리학과 1학년 수준까지는 위의 식이면 충분할 것이라 생각합니다. 2학년 이상 되면 스스로 알아서 틀린 곳을 고쳐야겠죠. 만약 스스로 깨닫지 못한다면 공부를 게을리 한 사람이라고 생각해도 될듯 싶은데요. ㅎ

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