재미있는 회전체의 정체

회전체

처음 쓴 날 : 2003.12.12
마지막 고친 날 : 2005.07.02
이 글은 약간이지만 수학적 내용이 포함되어 있습니다. 수학 싫어하시는 분은 읽지 마세요.^^;

회전체와 관련된 기본적인 물리량
회전체를 과학적으로 생각하기 위해서는 회전관성 모멘트를 고려해야 한다. 회전관성 모멘트란 것은 질량을 갖는 물질을 회전시키려고 할 때에 이 물체가 회전하지 않으려고 하는 성질, 즉 뉴튼의 관성과 같은 것이다.
이 회전관성(I)은 질량(m)이 회전축으로부터 떨어진 거리(L)의 제곱과 곱해진 형태로 나타내어진다. 공식으로 쓰자면….

I = mL2

좀 더 어려운 형태로 쓰자면 적분형이 된다. 고등학교 수학 적분만 공부한 사람들이 이 공식을 사용하기에는 좀 난감한 부분이 있다.

회전체의 회전속도를 나타내는 물리량으로는 각속도(ω[footnote]그리스 문자 오메가(Omega) 소문자[/footnote])가 있다. 이 물리량은 직선운동의 속도(v)와 같은 것이다. 또 회전체의 회전하려는 성질의 양을 나타내는 물리량이 뉴튼역학의 운동량(P)과 같은 역할을 하는 것으로 존재하는데 각운동량(=Iω)이라고 하며 이 물리량은 범 우주적으로 보존된다. (물론 우주 전체의 각운동량이 얼마인지는 모르겠다.) 그리고, 이 각속도를 변화시키는 가속도를 각가속도(α[footnote]그리스 문자 알파(alpha) 소문자[/footnote])라 한다. 물론 각가속도는 일반적으로 거의 쓰이지 않으므로 이는 생략하자.

한 물체가 반지름 r인 원을 속도(선속도) v로 운동하고 있다면 이 물체의 (원 중심을 향한는) 가속도는 다음과 같이 주어진다.

여기서 각속도는

 인 관계가 있으므로 다음처럼 나타낼 수도 있다.

성냥개비탑이 넘어질 때 꺾이는 이유
회전체와 관련한 재미있는 것이 하나 있다. 보통 물체가 땅에 떨어지는 시간은 

g는 중력가속도, h는 떨어지는 높이
여서 높은데서 떨어지는 시간과 낮은데서 떨어지는 시간이 다르므로 어떤 긴 물체를 옆으로 쓰러트리면 물체의 각가속도와 중력에 의한 가속도의 차이로 인해서 지면에 도달하기까지의 시간의 차이가 생겨 물체가 부러진다.(보통 작은 물체들이 쓰러질 때 동강나지 않는 것은 그 물체의 응집력(튼튼함) 때문이다. 물체의 크기가 아주 커지면 물체의 응집력에 한계가 있으므로 상황이 달라진다.)

보통 백여 미터 되는 건물이 쓰러지면 두 동강 나게 되며, 그보다 더 긴 구조물이 쓰러진다면 굉장히 여러 토막으로 부러질 것이다.[footnote]이러한 내용에 대해서는 애니메이션 건담에 수차례 나온다.[/footnote]높게 쌓은 성냥개비탑이나 층층이 얇게 세운 나무토막 탑이 무너지면 쉽게 이 현상을 관찰할 수 있다.

막대기를 휘두를 때 (공기저항을 고려해도) 생각보다 큰 힘이 드는데, 같은 이유 때문이다. 또 약하고, 공기저항이 거의 없는 긴 물체를 휘두르면 아주 쉽게 가운데가 부러지는 것도 같은 이유다.

상대성이론의 한 가지 헛점[footnote]상대성이론은 몇 가지 헛점이 알려져있다. 이러한 헛점들은 상대성이론을 표현하는 방정식이 근사식이기 때문에 생기는 것이다.[/footnote]
아인쉬타인의 유명한 상대성이론도 회전체와 떼지 못할 관계가 있다. 아실지 모르겠지만, 아인쉬타인의 상대성이론(일반, 특수 모두)에 의하면 운동하는 물체는 정지했을 때보다 길이가 운동방향으로 짧게 줄어든다. 이는 회전체에서도 마찬가지다. 그러나 회전체를 생각할 땐 문제가 있다.

간단히 생각해서 초등학교 때 원주를 배울 때를 생각해 보자.
원주는 원주율*지름으로 구할 수 있다. 이는 초등학교에서 배우는 내용이 아니던가??? 자 그럼 상대성이론을 고려해 볼까나???
반지름 r인 원판이 정지해 있다고 하자. 이 원판은 잘 알려져 있다시피 원주가 일 것이다. 이것이 처음에 회전을 시작했다고 하면 속도가 늦을 때는 상대론에 의해서 수축현상이 거의 일어나지 않으므로 별 문제가 없어 보인다. 하지만 속도가 점점 더 빨라지고 있다고 상상해보자.
상대성이론에서 길이의 수축이 일어나는 것은 운동방향뿐이므로, 반지름 r쪽으로는 거리의 수축이 없고, 원주 쪽으로는 길이의 수축이 심하게 일어나게 된다.
(상대성이론에서 움직이는 물체의 길이는 를 곱한 것과 같은 형태로 주어진다. 여기서 c는 광속이다.) 따라서 정지상태와 운동상태의 원주의 길이는 달라진다. 하나의 길이가 둘이 될 수 없으므로 최소한 둘 중 한 가지는 틀린 것이다.
이 문제는 상대성이론 초기부터 약점으로 거론됐으나 아직까지도 전혀 해결이 안 됐다.

초신성
(나도 잘 모르지만 한 가지만 이야기하려고 한다.)
1987년 2월 24일 17만 광년 떨어진 대마젤란성운에서 태양보다 질량이 27배정도 되는 푸른색의 큰 별이 초신성 1987a(SN1987A)로 폭발했다. 그 폭발을 맨 눈으로 관측하기에 23시간 앞서[footnote]초신성이 폭발하는 것이 맨눈으로 관측되기 23시간 전에 중성미자가 관측되었다는 것은 초신성폭발 원인이 되는 핵융합이 별의
외각이 사방으로 날아가기 23시간 전에 시작되었다는 것을 뜻한다. 실제로 중심부에서 발생한 강한 충격파가 외곽을 우주공간으로
밀어붙이는데 걸리는 시간은 별의 크기에 따라서 수~수십 시간 걸린다.[/footnote]

 이미 지구의 세 곳의 뉴트리노(중성미자) 검출 실험실에서 수십 개의 뉴트리노가 동시에 관측되었다.[footnote]뉴트리노는 일반적으로 물질과 반응을 안 하기 때문에 수십 개라 하는 것은 상상하기 힘들정도의 많은 뉴트리노가 지구를 관통해 지나갔다는 것을 의미한다. 중성미자는 핵분열이나 핵융합 반응에서도 많이 발생하므로, 지금도 굉장히 많은 양의(보통 수억 개 정도의..) 중성미자가 우리 몸을 뚫고 지나가고 있는 중일 것이다.[/footnote]

이 별의 폭발로 현재 굉장히 빠른 속도로 별을 구성하고 있던 가스가 사방으로 팽창하면서 날아가고 있고, 중심부에는 태양과 비슷한 질량의 약 20km정도 크기의 중성자성이 만들어졌다. 계산상으로는 이 중성자성은 이미 블랙홀이 됐어야 옳을 것이다. 그러나 폭발 당시 주변 가스로부터 받은 엄청나게 큰 각운동량의 영향으로 굉장히 빠른 회전을 하고 있는데, 그 영향으로 별은 아직 중력붕괴를 하지 않고 있는 것으로 분석되고 있다.

여기서 이야기하고싶은 것은 아직 우리 과학으로는 모든 현상을 다 설명하지 못하고 있으며, 특히 회전체는 간단하게 뉴턴역학으로 정의되고 해석되지만, 사실 우리는 이에 대해서 거의 모른다는 것이다. 미래에 과학을 공부하고자 하는 분이 계신다면, 회전체에 대해서 연구해 보는 것도 괜찮지 않을런지…^^

초신성 SN1987A의 현재의 모습

ps. 중성미자는 빛의 속도와 거의 같은 속도로 이동하고 있다. 한 때는 질량이 0이고, 이동속도가 광속(c)와 같은 입자라고 생각되었으나 현재에는 질량이 거의 0이어서 측정이 불가능하고, 이동속도도 거의 광속이라고 과학자들의 생각이 바뀌었다. (이는 과학적으로는 큰 의미를 갖는다.)
중성미자는 태양에서 많이 오며, 우주선의 고에너지 입자들이 지구 대기권 상층부에서 다른 원자들과 충돌하여 발생할 수도 있다. 또한 다른 별로부터 오는 중성미자도 있고, 아직 알지 못하는 것들이 많이 있다.

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