고도에 따른 압력 계산하기

일반적으로 물 같은 비압축성 유체의 높이(?)와 압력의 관계는 비교적 계산이 간단합니다. 비압축성은 압력에 상관없이 밀도가 일정하기 때문입니다. (물론 완전히 비압축성인 물질은 존재하지 않습니다.) 쉬운 예로 깊이 h인 물 속의 압력을 계산할 때, 다음처럼 계산할 수 있습니다.

예를 들어 바다 250 m 아래의 압력은 얼마나 될 것인가를 따질 때는 대략 깊이 250을 10.33으로 나누고 바다 표면에서의 표준 압력 1 기압을 더해주면 간단하게 약 26 기압이라는 것을 알 수 있습니다.

그렇다면 공기와 같은 압축성 유체 속에서는 어떻게 압력을 계산할 수 있을까요?
우선 공기가 모두 같은 분자량 m인 기체로 구성되어 있다고 생각하고, 이상기체의 상태방정식

를 따른다고 생각해 볼 때 다음과 같은 설명도를 생각해 볼 수 있습니다.

여기서 n은 미소부피 속에 들어가는 기체분자의 몰 수입니다. 계산을 시작하자마자 자연스럽게 삭제되어 없어지니 신경쓸 필요 없습니다.

설명도에서 노란 미소부피의 윗면과 아랫면에서의 압력의 차이 dp는 미소부피 속에 들어있는 공기의 (중력에 대한) 무게와 관련이 있습니다. 이상기체의 경우에 부피와 압력은 서로 반비례하는 관계이기 때문에 공기의 밀도와 압력도 똑같이 반비례합니다.

따라서 식을 계산하면 log와 같은 형태의 수식으로 나옵니다. 여기서 p₀는 높이(h)가 0인 지표면에서의 압력으로 보통 1 기압(atm)을 뜻합니다.

이상기체의 상태방정식에서

밀도는 질량을 부피로 나눠주는 것이므로, 계산은 다음과 같습니다.

이제 압력에 대한 정의에서 수식을 세워서 계산하면 이렇게 됩니다.

일 때

이므로

간단한 답이 되었습니다.

이 계산결과를 그래프로 그려보면 오른쪽과 같습니다.

이 수식을 정량적으로 계산해 보면 대기중의 공기의 양은 지표에서 약 10km 상공에 이르는 높이까지의 대류권에 90%가 모여있다는 결론을 얻을 수 있습니다.

실제로 우주에서 운석이 낙하할 경우에 3~90 m 크기의 운석들은 대기권에 돌입하면 지표 부근의 수백 m ~ 수 km 사이에서 압력으로 쪼개져 폭발한다고 합니다. 얼마만큼 지표 부근에 공기가 모여있는지 알 수 있는 것 같습니다. 그리고 더 큰 운석은 금성처럼 지구보다 더 짙은 대기를 갖는 곳으로 낙하하더라도 쪼개지거나 하지 않습니다.

ps. 이 문제가 오래간만에 생각이 나서 한 번 계산해 봤는데, 그 사이에 KMO 물리 경시대회에 나갔다 온 조카가 보더니 이 문제가 출제됐다고 하더군요. ^^; 이럴줄 알았으면 조금 더 일찍 계산해서 조카한테 알려줄 걸 그랬습니다. ^^;

ps. 이 계산법을 실제 지구에 적용시킬 수는 없습니다. 당연히 지구는 우리가 알기 힘든 여러 요인들이 작용되고 있기 때문입니다. 온도, 습도, 바람 등등의 영향과 성분의 변화, 이온대의 변화 등등의 부가적인 이유가 존재합니다.