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일팔구님께서 미분방정식 중 풀기 어려운 것에 대해서 투덜거리시는 포스트를 조금전에 봤다. ^^;
미분방정식은 좀 난해한 것이라고 해봐야 각종 새로운 함수들 다루는 정도에서 끝나니까…^^;
그래서 대학교 과정까지 나오는 방정식에 대한 것을 한번 소개하려고 한다.
1. 일차방정식 : 초등학교
초등학교 고학년 때에 ■나 ○같은 걸로 배우기 시작한다. 애교수준이다. ^^
2. 이원일차방정식 : 중학교 수준
뭐 대충대충 구하면 된다!
3. 이차방정식 : 중학교 수준
중학교 2~3학년때 배우는 방정식인데 근의공식 구하는 방식만 알면 되고…. 뭐 결국 너무 간단
4. 고차방정식 : 고등학교 1학년 수준
어차피 뻔하다. 대부분은 근을 구할 수가 없고, 근을 구할 수 있는 경우만 특별히 뽑아서 배운다.
5. 다원방정식 : 고등학교 3학년 수준
계산이 매우 귀찮아지고 하여튼 고려할 것이 많다. 가우스 소거법이 거의 유일한 대안이다.
6. 미분방정식 : 대학교 1학년 수준
미적분을 공부한 사람은 적응기간을 거처서 웬만하면 해결할 수가 있다.
나중에 특수함수들이 나오고, 그 뒤에 소개되는 것들은 해를 구하기가 매우 어렵다. (풀면 박사학위)
7. 적분방정식 : 대학교 2학년 수준
매우 귀찮고, 미분했다 적분했다를 한도끝도 없이 해야 되서 난해하다.
8. 편미분방정식 : 대학교 고학년 수준
미분방정식보다 수십배 힘들다. 편미분방정식을 계산할 수 있는 컴퓨터 프로그램이 존재하지 않는다.[footnote]간단한 일계도 편미분방정식은 mathematica에서 계산이 가능하다.[/footnote]
(간단한 일계도 편미분방정식은 암산으로도 계산이 가능하다?! ^^ 이계도 편미분방정식은 아무도 못한다.)
9. 텐서방정식 : 불능 수준
일반상대성이론 방정식이 텐서방정식이다. 아무도 근을 계산해 내지 못했다. (특별해만 간혹 계산된다.)
10. 기타등등…..
아.. 그 이상은 모른다. 구경이라도 해 봤어야 알지… TT
당장 배우는 것이 근이라도 존재하는 것이라면 기뻐할지여다!!!
근이 존재하는 것은 쉬운 방정식일지니…..
PS.1 :
1차 세계대전중 한 러시아 병사가 일반상대성이론 방정식중 한 특별해를 계산해 냈다. (난 꿈에도 못 계산할거다. -_-) 전투에 임하면서 계산한 것이어서 더 대단한 것인데….
아쉽게도 전투중 사망했다!
이 사람이 블랙홀 이야기할 때 빠지지 않는 Schwarzschild라는 사람이다.
PS.2 :
상대론의 텐서방정식을 좀 더 설명하자면…
텐서란 4X4 행렬로 구성되어 있고(각각 x,y,z,t로 대변되는 시공간), 행렬의 하나하나의 원소는 각각 4차원 벡터로 구성되어있다.
따라서 텐서방정식은 4X4X4=64개의 원소로 이뤄져 있으며, 각각 하나하나가 하나의 편미분방정식으로 이뤄지게 된다. 또 텐서방정식은 여러 가지 물리적 환경에 의해서 나타나는 변수가 여러 개 존재함으로 결국 64개의 다차 다원 연립방정식을 계산해야 한다는 결론을 얻을 수 있다. (이는 물론 과장되었지만, 진짜 텐서방정식도 결과적으로 상상할 수 없는 난해함이 존재하는 것은 매한가지다.)
글 쓴 날 : 2006.04.13
우리가 “배우는” 함수들은 답이 나왔으니까 배울 수 있죠. ㅋㅋ
아직 답을 모르는 미분방정식 중에서 네이비어-스토크스 방정식 같은 경우는 그 답이 뭔지보다, 일단 일반해가 존재하는지 조차도 모르니까요 -_-;
그게 있는지 없는지만 증명해도 아마 100만달러를 상금으로 받을 수 있을 겁니다. 물론 앞으로 90년 안에 말이지만요.
네이비어-스토크스 방정식은 무엇인가요? ㅎㅎㅎ
ps. 찾아봤더니 역시 어려운….ㅋㅋ
네비어 스토크 방정식식의 해의 존재성은 알려져 있다고 합니다…
아..그렇군요!!
유체거동의 지배방정식입니다… 비선형편미분 방정식의 형태입니다… 클레이 연구소가 어딘가…에서 상금을 걸었다죠… 아마…
…아.. 그리고… 나비어스토크 방정식도… x,y,z방향에서 미소면의 수직(압력), 수평(스트레스)를 다포함하므오 텐서량을 다룹니다…… 텐서방정식으로 별도로 범주로 구분하는 것은 좀 이상하네요… 텐서량을 다루는 편미분 방정식은 무지 어렵겠고….. 하지만 텐서를 더하는 1차 방정식이라면… 아무것도 아니겠죠….
아고… 텐서방정식을 하나로 묶기엔 영역이나 풀이방법 등에서 큰 차이가 나는 것 아닌가요? 결국 훨씬 복잡한 다원다차 미분방정식처럼 생각하기도 힘든 무시무시한 거잖아요. ^^;;;
갑자기…편미분 방정식 숙제의 추억이 떠오르는군요. 교수님이 “숙제는 따로 없고, 교재의 모든 문제를 풀어서 제출하세요”라고 하셔서 모든 문제를 풀었습니다.-_-;
그때 제출한 레포트가 1cm 정도의 두께였는데, 뭐 아무튼 A+받았으니 잘 풀었다는 거겠죠 ㅋㅋ
그리고 그 레포트를 학기 끝나고 누군가에게 빌려줬던 것 같은데 아직 안돌아오네요…4년째…
책으로 팔걸 그랬나봐요 ㅋ
아깝네요. 지금이라도 돌려받으세요. ㅎㅎ
누가 빌려갔는지 기억이 안나요 ㅜ_ㅜ
그나저나 한 번의 숙제로 그정도라면 좀 많군요.
저도 실험하면서 A4용지 59장을 리포트로 내본 적이 있긴 하지만…. 이건 원래 용량제한은 없언 것이었는데 하다보니 그렇게 된 거였고, 원래 해야 하는 분량이 그정도라면 ㄷㄷㄷ하네요.
아, 그때 편미방 숙제는 문제의 수는 많지 않았어요. 풀이가 길어서 문제였죠 -_-