각도 단위 총정리

우리가 사용하는 각도 단위는 4 가지가 있다. 2 개의 직선이나 평면 사이에 생성되는 각도 단위가 3 가지이고, 일상생활에서는 접하기 힘든 입체각 한 가지가 있다.

1. 60분법(degree, ˚)

60분법은 바빌로니아 사람들이 만든, 태고적 수학의 흔적이다. 지금도 가장 많이 쓰인다.

정삼각형의 한 각을 60 등분한 것 중 하나가 1˚이다. 더 작은 각을 나타내려면 세분화된 눈금 1˚를 다시 60 등분한 것 중 하나를 1′(‘분’이라고 읽는다.)으로 쓰고, 1’를 또 다시 60 등분한 것 중 하나를 1″(‘초’라고 읽습니다)로 쓴다. 초보다 작은 각도를 표기할 때는 60 등분으로 하질 않고, 그냥 소수점으로 읽는다.
이 각도 계산법은 편리하다고 생각될 수 있으나, 실제로는 초등학교 때부터 배우기 때문에 익숙해진 것일 뿐이지 편리한 것은 아니다.

특히 과학이나 공학을 계산하기에는 많이 불편하다. 그래서 과학이나 공학에 사용하기 위해 두 번째 방법을 만들었다.

2. 라디안(Radian, rad)

라디안은 수학계산을 위한 단위이다. 고등학교 수학에서 나온다. 이 라디안이라는 단위를 배울 때 많이 고생한다. 왜냐하면 이미 60분법에 익숙해져 있기 때문이다. 초등학교 때 60분법을 배울 때도 똑같은 어려움을 겪는다. 만약에 배우는 순서를 바꾼다고 해도 마찬가지일 것이다.

라디안은 각도를 실수로 나타내는 것이 가장 큰 특징이다. 라디안은 반지름이 1인 단위원의 원호의 길이이다. 따라서 한 바퀴에 해당하는 각도는 2π이다. 그보다 적거나 큰 각도는 이 양을 산술적으로 계산한다. 예를 들어 정삼각형의 한 각의 크기는 한 바퀴를 6등분한 것이므로 (2π/6 =) π/3이다. 라디안이 길이와 같은 단위[차원]가 되는 이유이다. 따라서 각도를 수식계산에 바로 사용할 수 있다. 미적분을 할 때에도 각도에 대한 미지수를 아무런 고려 없이 일반적인 미지수처럼 그대로 사용할 수 있다. (60분법을 쓰려면 상수를 도입해야 한다.)

라디안은 여러 가지 장점이 있다. 예를 들자면…. 극좌표계에서 나선형 곡선을 그릴 때 라디안을 사용하면 간단하다.

r = θ

이 곡선은 직교좌표계에서는 바로 나타낼 수 없다. 매계변수를 이용해야 해서 형태가 복잡하다.

물론 60분법과 라디안 중에 어떤 것은 필요없다고 말할 수는 없다. 다양성이 중요하니까. 개인적으로 교육체계에서 60분법을 먼저 배우는 것이 아쉽다.

3. 밀(mill)

‘밀’은 서양에서 군사적으로 쓰려고 만든 각도 단위이다. 그래서 빠르게 암산하는데 편리하다는 특징을 갖는다. ‘밀’이란 단위는 많이 알려져 있지 않지만, 각도 단위로서의 ‘미리’라는 단위를 아는 사람은 많으리라 생각한다. (미리는 밀의 잘못된 표현이다.)

반지름이 1인 원의 둘레길이는 2π이며, 이를 숫자로 바꿔보면 6.28정도다. 따라서 1 m 원의 원둘레는 6283 mm 정도이며, 반지름이 1 km인 원의 둘레는 6280 m 정도이다. 이 6280이라는 숫자를 다루기 쉬운 6400으로 바꿔놓은 것이 밀(mill)이다.

1 km 밖에 적군이 있고, 전에 쏜 포탄이 5 m 빗나갔다고 생각해보자. 60분법이나 라디안을 사용하고 있다면 포의 세팅을 수정하려면 계산이 매우 복잡하다. 이때 밀을 쓴다면, 그냥 5 밀만 바꿔주면 된다. 물론 아주 정확한 방법은 아니지만, 이정도면 암산으로도 가능하고, 오차 또한 충분하다.

또 밀은 절반으로 분리가 잘 된다. 64는 1이 될 때까지 2로 계속 나누어지므로, 숫자와 기하에 대한 직감만으로도 방향을 쉽게 추측할 수 있고, 계산할 수 있다.

참고 : 밀이 밀리로 잘못 알려진 이유는 실용성의 이유로 단위의 혼용이 일어났기 때문인 것 같다. 군대에서 사격 훈련할 때 포열을 받히는 포받침대가 포의 중심에서 1 m만큼 떨어져 있다고 해보자. (60밀리, 81밀리, 4.2인치, 120밀리, 155밀리 등으로 포의 크기가 달라지더라도 포의 중심에서 포받침대까지의 거리에 따른 움직여야 할 거리는 비교적 암산하기 쉬운 형태가 되는 경우가 많다.) 포받침대를 움직여 방향을 조정할 때 100 밀만큼 바꾸려면 실제로 거의 100 밀리미터만큼 옮기면 된다. 따라서 “100 밀만큼 수정”하라는 지시가 내려왔을 때 “100 밀리만큼 움직여라”라는 식으로 받아들였고, 이후 차츰 밀과 밀리가 혼용된 것이 아닌가 생각된다.

4. 스테라디안(steradian, sr)

‘스테라디안’이란 말 자체를 거의 못 들어봤을 것이다. 스테라디안이라는 것을 이용해서 문제를 해결해본 사람은 더더욱 없을 것이다. 그만큼 전문가를 위한 단위로 생각할 수 있다. 입체각이라는 개념이 워낙 안 쓰이다보니, 문제를 만났을 때 입체각으로 해결할 거라는 생각을 떠올리기 힘들다. 이 글을 쓰는 나부터도 겨우 두세 번밖에 써본 적이 없을 정도이다.

스테라디안은 평면각 라디안radian과 이름이 비슷한 점에서 유추할 수 있듯이, 정의도 비슷하다. 반지름이 1인 구의 겉면적을 기준으로 정한 각이다. 모든 방향을 다 합하면 4π가 된다. 단위구의 겉면적이 4π이기 때문이다.

스테라디안도 라디안처럼 실수로 처리된다. 따라서 일반 수식에 그대로 사용할 수 있다.

마지막으로 일반적인 직선 사이에 생성되는 각과는 달리 스테라디안은 특정한 모양이 아닐 수 있다.

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이상과 같이 우리가 실생활에서 접할 수 있는 각도는 4 가지가 있다. 60분법을 제외하고는 모두 기하학을 바탕으로 만들져서 체계가 효율적이다. 어찌보면 우리가 많이 사용하는 60분법이 실제로는 그리 효율적이지 못하므로, 초등학교에서 교육하는 내용을 빨리 바꿔야 한다고 생각한다. (물론 같은 60진법을 사용하는 시계 단위도 그리 효율적이지는 않다.)