물체의 종단속도에 대한 상식의 오류

웹서핑을 다니다보면 과학상식에 관련된 많은 글을 보게 된다. 그런데 상식으로 통하는 과학상식 중에서 많은 오류들이 포함되는 것 중 하나가 종단속도다.

물체가 유체 속에서 낙하할 때 받는 저항은 많은 변수의 영향을 받으므로 문제마다 다시 생각해야 한다. 그러나 일반적인 상식 차원에서 생각할 때는 두 가지의 유체 마찰력만 생각하면 된다. 두 가지를 각각 점성저항압력저항이라고 부른다. 점성저항은 유체의 점성에 의해서 나타나는 저항으로 속도에 비례하여 커지는 저항이다. 압력저항은 움직이는 물체의 앞뒤 압력의 차이에 의해서 나타나는 저항으로 속도 제곱에 비례하여 커지는 저항이다. 이 두 가지 경우만 고려한다면 계산이 그리 복잡하지 않다.

점성저항만을 고려한 계산은 가장 간단하면서도 개념을 설명하기에는 가장 유용한 방법이다. 계산식은 나의 다른 글에서 소개한다. 여유가 있으신 분들은 관련된 미분방정식을 직접 계산해보는 것도 좋을듯 싶다.
종단속도를 구할 때 중력과 마찰력을 같다고 놓아 mg=kv[footnote]mg=kv에서 m:물방울의 질량, g:중력가속도, k:점성저항 계수, v:불방울의 속력[/footnote]로 놓고 계산하면 간단하게 구할 수 있지만 미분방정식을 사용해서 계산하는 이유는 종단속도의 개념을 파악하기 위해서다. 계산 결과를 살펴보면 알겠지만 낙하하는 물체는 종단속도에 해당하는 속도로는 떨어질 수 없다. 종단속도는 점근선과 같은 개념이기 때문이다.

upper band 형태의 종단속도

또한 물체의 질량을 밀도와 크기(부피)로 나타내고 살펴보면 물체의 밀도에 비례하고, 부피에도 비례한다. 따라서 같은 물질로 이뤄진 물체의 경우에는 큰 물체가 더 빨리 떨어진다. 빗방울을 예로 들면 작은 빗방울은 늦게 떨어지는 반면 큰 빗방울은 빨리 떨어진다는 이야기다. 또 밀도가 무거운 물체가 더 빨리 떨어진다. 쇠구슬이 물방울보다 더 빨리 떨어진다는 의미이다.[footnote]갈릴에이 갈릴레오 일화로 전해지는 피사의 사탑에서의 낙하 실험은 유체역학을 고려했을 때 비현실적이다.[/footnote] 이슬비의 낙하속도는 1m/s보다 느리게 떨어지는 것이 일반적이지만 소나기의 큰 빗방울은 10m/s 이상의 속도로 떨어지기도 한다.

점성이 큰 유체 속에서 떨어지는 물체의 종단속도는 더더욱 작다. 총을 물에 쏘면 살상반경이 거의 수 cm밖에 되지 않는 이유 중 한 가지가 물의 점성이 공기보다 훨씬 크기 때문이다. 그래서 수중용 총의 총알은 더 뾰족하고 더 긴 모양을 하고 있다. (그래도 살상반경이 20m에도 이르지 못한다.)

그 이외에 스포츠에 사용하는 공들의 종단속도는 탁구공의 경우는 매우 작고, 큰 공들도 대부분 20~30m/s 정도밖에 되지 않는다.[footnote]선수들이 스포츠에서 공을 움직일 때는 대부분 공의 종단속도보다 빠르게 만든다. 이 때는 공의 속도가 느려지는데, 이미 살펴본 것과는 반대로 저항이 작용하여 속도를 느리게 만든다. 이 때는 시간-속도 그래프에서 곡선이 종단속도의 위쪽에서 접근한다. lower band다.[/footnote] 축포로 사용되는 소총이나 대포의 탄을 맞으면 어떻게 될까 하는 질문들이 인터넷에 많이 있는데 일반적으로 맞으면 아프기는 하지만 큰 이상은 없다. 총알의 경우는 그 형태가 공기저항을 최소로 하는 모양이기 때문에 종단속도가 구일 때보다 다소 빠르지만 그래도 40~50m/s 정도에서 벗어나지는 않는다. 다만 간혹 축포용 소총이나 포탄을 맞고 사망하는 사고도 있다. 알기 힘든 세상이다!

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