By ※ 추정
① 모비율의 추정
② 모평균의 추정
글을 끝내면서, 고등학교 통계에 대해 한마디…
고등학교 수학이 필수부분과 기타 3개 부분으로 나누었는데…
그 중 통계는 실질적으로 3가지 내용만 갖고도 모든 문제가 풀린다는 것을 알 수 있을 겁니다.
이 내용들이 어떤 걸 주고 어떤 걸 구하라고 하는 것인지의 차이로 다양한 문제로 분화되는 것이죠. 그 내용은 좀 더 복잡한 것이 사실이지만, 이번 2010학년도 수능에서의 통계 문제들을 살펴봤을 때 내용이 추가되거나 어려워진 것은 없었습니다.
즉 전체적인 내용은 별로 차이가 나지 않는 상황에서 학습내용이 크게 늘어난 고등학교 통계 과목을 공부하는 것은 이전의 집중적이고
중요한 내용만을 공부하던 때와는 다르게 요약을 짚기가 더 어려워졌다는 점입니다. 이런 변화는 고등학교 학생들의 시간을 빼앗는
결과를 보입니다.
이런 측면, 또 향후 대학 진학 이후 활용성 측면에서 통계를 선택해 배워 시간과 정력을 낭비하는 분들이 없으시길 바랄 뿐입니다. (물론 통계가 중요하지 않다는 것은 아닙니다. 통계가 무엇이고 어떤 내용을 담고 있는지는 통계를 선택하지 않더라도 충분히 습득해야 합니다.)
수학은 아주 적은 분량의 원리만으로 많은 문제들을 생각할 수 있습니다. 수학의 최대 강점이죠. 다른 과목은 한 가지 지식을 얻으면 한 가지 문제를 풀 수 있을 뿐인데… 수학이나 물리는 그렇지 않죠. 수학을 공부할 때는… 자신을 관찰하는 것이 중요합니다. 자신이 공부하는데 시간이 많이 들어가는 것이 무엇인지? 무엇에서 문제가 발생해서 그렇게 공부시간이 필요한 것인지? 예전에 “수학은 공통점찾기다.”라고 했었는데, 중요한 것은 수학 자체뿐만 아니라 공부하는 여러분에 대해서도 공통점을 찾아야 한다는 것입니다.
그럼 행운을 빕니다.
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통계는 다른 수학들 보다 실생활에서 중요하게 사용되는데 사람들이 잘 모르죠…-_-
가령, 여론조사를 했을 때 어떤 사안의 지지율이 60%이고 이에 대한 오차가 신뢰구간 90%에서 30%포인트라는 말이 있으면, 이게 뭔소린지 이해하는 사람은 별로 없습니다. 그저 지지율이 70%니까 절반 넘었네…그러고 말지요.
근데 알고보면 60%라는 값이 평균인데 그게 30%에서 90%라는 구간 사이에 실제로 그 값이 있을 확률이 90%라는 뜻이죠. 30~50%사이에 있을 가능성도 있다는 뜻이거든요.
고등학교 수학에서 통계는 분명히…어쩌면 미적분보다 더 중요할 수 있다고 봅니다. 발전하는 삶을 위해서는 말이죠.
그래서 신문기자나 정치인들이 통계를 이용해서 장난질을 많이 치죠. (사실은 정치인이 아니라 그 보좌진들이 하는 거지만… 정치인들은 장난질 치면서 그 의미를 알려나 몰라요.)
“통계는 진실 같은 거짓말… 확률은 거짓 같은 진실”이라는 말이 있죠… 정치인 뿐만 아니라 광고에서도 심지어 학계에서도 과학적으로 혹윽 수학적으로 사기를 치기위해 통계를 이용한다고 합니다…. (유아 사망사고의 90%는 집안에서 발생한다… 그러므로 집안이 유아에게 가장 위험한 곳이다..등등..) 반면 사람들은 확률을 별로 심각하게 받아들이지 않지만..(기대값이 마이너스임에도 로또를 산다…)… 확률의 결과는 거의 적중합나다… (대부분 꽝으로… 끝난다…)
ㅋㅋㅋㅋ
고교 확률통계의 경우 고교교과과정만으로는 증명하기 곤란한 공식들(“~라고 알려져 있다”라는 식)이 있어서 진정한 수학의 재미를 느끼려는 학생들중에게는 아쉬움이 남을 수도 있죠.
음… 지금은 잘 기억나지 않지만, 고등학교 중요 공식(제 3개의 글에서 언급한 것들 정도)은 고3 때 모두 증명했는데요. 제가 뭔가 잘못된 경우인건가요??? 공부는 의당 그렇게 해야 한다고 생각했습니다만..
이항분포의 정규분로에로의 근사
B(n,p) -> N(np,npq)
도 증명했는지요?
정규확률분포의 확률밀도함수자체 도출이 대학과정인데…
고교과정에서는 그 확률밀도함수의 적분자체를 못하지않습니까.
P.S. 참고로 중학교때 원뿔이나 삼각뿔 등의 부피를 구하는 공식도 당시에는 수학적 증명없이 넘어가죠.(원기둥이나 삼각기둥과의 부피를 실험적으로 비교해서 1/3이더라…라는 식으로요. 증명은 몇년 후 배우는 고교교교과과정인 구분구적법(적분)으로 가능하죠.
물론 가우스분포는 제가 직접 증명하진 못했었죠. 그리고 대부분의 증명은 가우스 분포에서 시작하구요. 수학 당담 선생님이 대충 이렇게 하는 거라고 설명해줘서 그걸 며칠간 끙끙거리면서 나름대로 증명했었을 겁니다. 물론 정확한 것은 대학교에 가서 통계역학을 다루면서 공부했지만요.
삼각뿔에 대해서 말씀하시니까 국민학교 6학년 때 군 경시대회 나갔을 때가 생각나네요. 선수학습 전혀 안 되어 있던 상태로 단지 시험만 좀 잘 봤다고 나간 경시대회에서 웬 원뿔같은 거 부피 구하라거나 하는 문제가 나왔었죠. 그냥 제가 알고 있던 것 대여섯문제만 풀고 와서 보기좋게 떨어졌던… (경시대회라 하더라도 선수학습을 요구하는 문제는 출제되면 안 되죠.)
통계에 대해 열심히 공부했던 건 고3 진학해서 경시대회 나가려고 준비하고 있던 거였는데, 올림피아드 규칙이 바뀌어서 고2까지만 나갈 수 있다고 해서 대신 물리 일주일 준비해서 도대회까지 나갔었죠. (금상을 탔었는데, 전국대회는 경기과학고의 입김에 밀려서 못 나갔죠.)
정규분포의 확률밀도 함수가 고교 확률통계에서 아주 중요한 것인데 고교교과과정에서는 그냥 띡~ 주어지고 별다른 설명이 없어서 좀 황당하죠.
제 기억에 당시 수학선생님에게 해당 함수가 어떻게 구해졌고 적분은 어떻게 하냐고 물었는데 “복소수 적분을 이용하는 것이다”라고만 간단히 답변해주었죠. 요즘처럼 인터넷이 발달한 것도 아니었고 당시 각종 도서관에 찾아가서 공부할 생각을 미처 못했습니다.
따지고 보면 자연로그의 밑 e와 원주율 파이가 무리수라고 하는 것도 그냥 띡 주어지기만 해서 불만이었는데… :)
반면 로피탈 정리의 경우는 교과과정외이지만 직관적으로 그게 옳다고 알 수 있었고 수학참고서에 증명이 나와있어서 좋았습니다.
P.S. 경시대회문제라고 해도 대상 학생들의 교과과정외의 문제를 내는 것은 큰 문제라고 봅니다. 그런 출제자는 중징계해야 한다고 봅니다.
개인적으로 통계학을 공부할 때 무척 재미있었습니다… 하지만 고등학교 때 통계에 대한 느낌은 소홀히 하면 의외로 피해가 큰 분야 정도…(수학 책의 마지막 부분에서 통계를 배워.. 다소 소홀히 대한 느낌이…).. 어쩌면 고등학교때 배우는 통계가 결론 위주로 정리된 공식위주로 배우기 때문인지도 모르고요… 그후에도 수리통계학을 공부하고…. 노트에는 공식이 빼곡히 정리되었지만… 여전히 뭐가 뭔지 잘 모르겠더군요….. 경제학과(?) 통계를 배우면서 좀 재미를 붙이게 되더군요…. 공부해보실 분은 류군관교수의 통계학책을 권해봅니다…
책중에서….
대부분의 사람들이 정규분포를 받아들인다. 경험적 연구자들은 그것이 수학적 정리라고 믿는다. 그러나 수학자들은 그것이 경험적 사실이라고 믿는다
– 리프먼(Gabriel Lippman,프랑스,1845-1921)
저도 얼마전에 한 책에서 비슷한 구절을 읽은 기억이 납니다. 정규분포가 이론적으로 유도가 되긴 하지만, 실제로는 그렇게 믿을 뿐 자연이 정규분포를 따를 이유같은 건 없다는 의미에서 사용된 말이라고 생각했습니다만…^^