땅나누기 문제

그림과 같은 정사각형의 땅에 네 채의 집(□)과 네 채의 오두막(▲)이 있다. 이 땅을 같은 형태, 같은 면적의 네 부분으로 나누어 집과 오두막이 각각 하나씩 들어갈 수 있도록 하려면 어떻게 하면 좋을까.

(제한시간 7시간)

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풀이

항상 그렇지만……
이런 문제를 처음 받아보면 난감할 때가 많다.
문제를 푸는 열쇠는 누가 규칙성을 정확히 찾아내느냐 하는 것이다.
이런 문제는 수학적인 공부(특히 이산수학)에 도움이 되므로 많이 풀어보는 것이 괜찮다고 생각된다.

10 분간 이 문제의 규칙성을 생각해 봤다.
같은 모양, 같은 넓이의 땅 네 개로 나누려면 단순한 모양이거나 대칭 규칙이 있어야 한다. 그런데 단순한 모양은 집과 오두막을 한 채씩 포함시켜야 하니 답이 있을 수 없다.

문제 그림을 가로, 세로 각각 16칸으로 나눴다. 그러면 집과 오두막은 나뉜 칸의 중심에 오게 된다.
또 중심 대칭이라면 중심 대칭점의 반대편에도 오두막과 집이 있다고 가정해도 전혀 이상할 것이 없다.
따라서 이 문제는 각 대각선을 따라서 8개의 오두막과 집이 늘어서 있는 문제로 바뀔 수 있다.

여기까지 생각이 미쳤으면 거의 다 풀린 것이다. 집과 오두막을 같은 것으로 보면….
각 귀퉁이(혹은 중심)에서부터 첫번째, 두번째, 세번째, 네번째로 이야기했을 때 각 순번에 해당하는 것을 하나씩 포함할 것이다.

문제를 살짝 바꿔서 집이나 오두막을 4명이 나눠서 방문하는 문제로 바꿔보자. (이 때 네 명은 각각 남이 다닌 경로를 침범하지 않고, 모두 같은 경로로 이동해야 한다는 조건이 필요하다.) 한 사람이 방문해야 할 집이나 오두막은 각각 4채가 되야 한다. 처음 방문해야 할 집이나 오두막을 첫 번째로 정한다면 (특별한 경우가 아니라면 이렇게 생각하는 것이 당연히 쉬울 것이다.) 다음에 방문해야 하는 집은 두 번째, 세 번째, 네 번째 집이어야 한다. (다른 방법으로 방문하는 방법이 있는지 생각해보면 재미있을 것이다.)
이런식으로 갈 수 있는 경우의 수는 여섯 가지 밖에 안 된다.

여기까지 생각했으면 1 분 안에 풀릴 것이다.

수학은 공통점 찾기다. 땅나누기를 떠나서… 집과 집을 연결하는 문제로 바꿈으로서 아주 쉬운 풀이방법을 생각해 낼 수 있게 된 것이다.

※ 내 풀이방법은 중심대칭이고, 모두 중심과 모퉁이를 하나씩 점유한다고 가정하고 문제를 푼 것이다. 하지만 이 가정 이외의 방법이 있을지도 모른다. 이에 대해서 생각해 보면 공부에 도움이 될 듯 하다. 어차피 퍼즐문제는 수많은 가정 속에서 문제풀이가 이뤄지는 것이니까….

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추가

문제를 올려주셨던 toonism님께서 너무 분석적으로 푼 것이 아니냐고 말씀을 남겨주셔서 제가 30 분 동안 푼 그림을 사진으로 찍어서 올려봅니다.

첫 번째 그림은 일단 네모를 잡고서 각 귀퉁이와 중심에 대해서 한참 생각한 그림입니다. 그림에는 별것이 없다고 생각하실지 몰라도 실제 저 그림을 그리는데 10 분 정도 걸린 것 같습니다.

두 번째 그림은 이를 토대로 각 연결될 수 있는 방법을 이리저리 강구해 본 것입니다. 이렇게 시도해 보면서 어떤 모양에서 전체를 유연하게 나눌 수 있는지, 어떤 조건에서 짜투리 땅이 남게 되는지를 알아냅니다. 단순히 나눌 수 있는 방법이 통할 수 있는지도 확인합니다. 이런 과정을 거처 처음부터 답에 상당히 접근한 시도를 했던 것을 알 수 있습니다.

(퍼즐 문제에서는 내가 하고 있는 것이 답이라는 확신이 상당히 중요합니다.)

드디어 대칭점 부분에도 무언가 있으면 사고가 쉬워지고, 답에 접근하는 체계적인 방법을 구상해 내기 쉽다는 것을 발견해 냈습니다. 이 그림에 존재하는 정답과 같은 시도는 아직 답이라는 인식을 하지 못한 상태입니다. ^^; 6 가지 시도를 머리속으로 다 해봤다는 것을 발견할 수 있습니다.

네 귀퉁이를 대상으로 해서 한 단계씩 똑같이 움직여 봄으로서 하나씩… 가능성을 줄여서 정답을 찾아냈습니다.

여기까지 20 분 정도 걸린 듯합니다.
그 후 정답을 컴퓨터 그림으로 옮기는데 10 분 정도….
도합 30 분이 걸렸습니다. ^^;

toonism님 블로그에 댓글로 올려놨지만….

직감과 분석은 일면 같으면서도 다릅니다.

수학에서의 직감이란 어떤 조건을(예를 들어 위의 풀이에서 대칭점에 무엇이 있어야 한다던지) 생각해 내고, 적용해야 하느냐 말아야 하느냐를 판단하는데 사용되는 것입니다. (어려운 문제일수록 이 특징은 더욱 강렬해진답니다.) 따라서 수학문제를 잘 푸는 것은 (암기에 의한 것이 아니라면) 직감이 뛰어남을 알 수 있습니다.