By 오늘 고등학교 과학을 공부하는데 모르는 문제가 튀어나와서 이렇게 글을 써봅니다.
기본적인 상황은 옆의 그림과 같습니다. 마찰과 질량을 무시할 수 있는 도르레, 용수철, 줄을 이용해서 옆의 장치를 만들었습니다.
중력상수 10 m/s2인 지역에서 1 kg인 물체가 옆의 그림과 같이 장치되었습니다. 처음에 1 kg의 물체를 매달지 않았을 때보다 도르레가 0.1 m가 더 내려와서 정지됐다고 합니다.
이때 다음을 구하세요.
(1) 용수철상수 K를 구하라.
(2) 중력에 의해서 물체가 내려가면서 줄어든 위치에너지와 용수철에 저장된 에너지의 차이는 얼마나 되겠는가?
(3) 옆의 상태에서 어떤 사람이 살짝 건드려 상하로 주기적인 운동을 하게 됐다면 그 주기는 얼마나 되겠는가?
전반적으로 쉬운 문제입니다. 하지만 위의 보기 세 개를 수식계산하는 것보다 (2) 번에서의 에너지가 어디로 갔을까 하는 것이 주된 관심사입니다. 도대체 어디로 갔을까요? 미아가 되어버린 에너지좀 찾아주세요. ㅜㅜ
운동에너지 -> 마찰 -> 열에너지 등등…이겠죠.
도르래가 0.1 m가 더 “내려와서” “정지”<- 이부분이 마찰을 암시하고 있지 않을까요. 마찰이 없다면 영원히 단진자운동을 해야...
죄송합니다. 마찰도 무시해야 하는데 제가 문제 옮기면서 빠트렸습니다. 문제를 그래서 수정했습니다. ^^;
댓글 감사합니다.
높은 곳에 있을 수록 더 많은 위치에너지를 갖어야 하는데, 용수철이 늘어났으므로 도르래는 에너지가 줄었습니다. 따라서 용수철의 늘어난 길이만큼 도르래의 위치 에너지가 줄어들었겠네요. 이때의 변경 사항은 용수철 뿐이지요. 용수철에는 탄성 에너지로 있을테고, 이 탄성 에너지는 도르래가 늘어난 만큼의 감소한 위치에너지와 동일하겠습니다. 즉, 문제2)의 답은 같다가 되겠네요.
용수철이 아니라 두개의 길이가 다른 줄이라고 가정하고, 전과 후라고 보면 이 둘의 차이가 어디에 있을고 그 에너지의 흐름이 어디에 있을까를 생각하면 되는 문제라고 보여집니다.
문제는 그 두가지가 같지 않다는데 있습니다.
위치에너지 감소분보다 탄성에너지 저장분이 적거든요. ^^;
그렇지 않았으면 제가 의문을 갖지도 않았겠죠.
지나가다가 흥미가 있어서 풀어봤습니다.
혹시 1)번에서 용수철에 걸리는 힘의 크기를 1kg의 절반인 0.5kg으로 구하신 게 아닌가 싶은데요, 위로 걸리는 힘 0.5kg, 아래로 걸리는 힘 (반대편 줄의 장력) 0.5kg을 함쳐서 1kg이 걸리는 게 맞지않나 싶습니다.
도르래 없이 생각하면 그냥 줄과 용수철이 직렬로 연결된 형태이고, 줄의 탄성계수 k1를 무한대로 본다면 1/k = 1/k1 + 1/k2 이므로 k = k2 즉 전체 탄성계수는 용수철과 같겠죠.
아무튼 이렇게 1)번 답을 구하면 k = 1kg*10(중력가속도)/0.2m(용수철 늘어난 길이) = 50N/m가 되겠고, 이 값을 2)번에 대입하면 용수철에 저장된 에너지는 0.5*50N/m*(0.2m)^2 = 1Nm 이므로, 물체의 줄어든 위치에너지 10*0.1m*1kg = 1Nm와 같게 되겠죠.
100% 확신하지는 않지만 아마도 이렇게 해석하는 게 맞으리라 생각합니다. 한번 확인해 보시기를.. ^^;
이 문제 엄청 헤깔리네요. ^^;;;;
우선 용수철에 걸리는 힘은 0.5 kg이 맞습니다. 양쪽으로 분산되는 것을 합해야 한다면 일반적인 문제에서 큰 논리적 오류들을 양산하니까 훅의 법칙을 사용할 때 절반으로 나눠줘야 하는 것은 확실합니다. 그래서 K가 절반으로 계산되는 것이죠.
전체 탄성계수를 이용해서 에너지 계산하는 것은 맞는데, (이 때는 에너지가 보존되죠.) 이 때 용수철에 저장된 에너지를 계산하면 아무래도 절반밖에 저장되지 않습니다. 나머지 절반이 저장되는 장소를 찾거나 방법을 찾아야 하는데 쉽지 않군요. ^^;;
에너지가 저장되야 (3)번의 문제의 단진동이 일어날 수 있는데 말이죠. ㅜㅜ
댓글 감사합니다.
용수철이 늘어난 길이 0.1m, 이 때 용수철이 받는 힘 50N, 따라서 k=50N/m를 얻으셨다면 양쪽의 위치에너지의 증감량으로 모두 1J을 얻습니다. 혹시 용수철이 힘은 왼쪽의 줄과 나눠서 반만 받는 반면에, 늘어나는 길이 x는 모두 용수철에서 온다는 데에서 실수를 하지 않으셨을까 싶습니다. 결론은 에너지는 ‘같다’일듯 합니다.
흑흑….
그렇게 생각할 수 있다면 얼마나 좋겠어용…..
It is because you have to do “work” to that system to make it “stop” at the equilibrium point. As the first reply said, if you don’t exert any force, that 1kg has to oscillate like a Harmonic Oscillator.
문제에서 보면 물체를 매단 후 정지했다고 나오는데요.. 그러기 위해서는 제동을 위한 에너지가 필요합니다. 왜냐하면, 가만히 나둘 경우, 진동운동을 할태니까요. 보통은 마찰력에 의해 멈추겠지만, 마찰력이 없다고 가정하고 있으니 어디론가 사라진 것 아닐까요~~ㅎㅎ
예.. 예.. 맞군요. ^^;
많은 분들 답변에 감사드립니다.
마찰이 없다면 평형점에서 절반의 에너지를 1 kg의 운동에너지로 갖고 있겠군요. ^^;
평형점에서의 탄성에너지와 위치에너지 변화분이 일치한다면 결과적으로 미분방정식의 해의 지수부분이 실수가 되면서 지수함수처럼 1 kg이 움직이겠지만, 이 문제에서는 그렇지 않으니까 지수 부분이 허수가 되어 단진동 운동을 해야만 하겠네요. ^^;
에거… 단순역학 문제를 못 풀고 이렇게 헤매서야…ㅜㅜ
모든 분들께 다시 한 번 감사드립니다.
제가 헷갈려서 질문드리는 건데…
도르레가 0.1m 내려왔으니까 용수철은 0.1m 늘어났다가, 반대쪽의 줄은 늘어나지 않으므로 줄 몫까지 0.1m 더 늘어나서 총 0.2m 늘어나는 것 맞지요?
물체가 도르레를 당기는 힘은 F=ma니까 10N이고 용수철에 가해지는 힘은… 5N이죠?
용수철 상수 구하는 건 식을 까먹어서 – _-a
5 = 1/2 * 0.2m * K^2 인가요? 이렇게하면 K는 5√2 나오는데 – _-a
너무 안 했더니 모르겠네요. 흐윽
5=0.2*K 입니다. 그래서 25 N/m라고 구할 수 있습니다.
1/2*K*x^2 식은 용수철에 저장되는 탄성에너지입니다.
물체에서 줄어든 위치 에너지와 용수철에 저장된 에너지는 같다고 봐야 할 거 같은데요. 도르레가 0.1 m 아래로 내려갔다면 양쪽 줄이 0.1 m 씩 “늘어난” 것과 같으므로, 줄은 모두 0.2m가 늘어나야 하는데, 늘어날 데가 용수철 밖에 없으므로 용수철이 0.2 m 늘어났고, 그래서
F = -kx에서 k = 25 N/m
도르레에서 줄어든 에치에너지는 1J
용수철에 저장된 에너지는 k x^2 = 25 * (0.2)^2 = 1 J
용수철에 저장되는 탄성에너지를 계산할 때 1/2를 안 곱해주셨네요. ^^
위의위의 댓글에 정리됐습니다.
감사합니다.
내려와서 완전정지 한건가요? 아니면 그냥 진동 운동에서 속도가 0인 지점을 의미하는 건가요??
음 똑같은건가?;;
내려와서 완전 정리한 것입니다.
정지시키는 과정에서 에너지를 외부로 방출시켜야 완전 정지할 수 있다는 것으로 결론을 맺었습니다.
감사합니다. ^^