By 이전 글에서 제논의 역설에 대해서 살펴봤습니다.
이 글에서는 제논의 역설의 예 하나와 적용될 수 없는 예를 하나 살펴볼까 합니다.
단진자가 멈추는데 걸리는 시간은?
왼쪽의 그림은 단순히 단진자 두 개가 한 봉에 매달린 것을 그린 것입니다.
여기서 두 개의 진자는 일단 중력에 의해서 가운데로 내려오고, 정확히 가운데에서 충돌하게 됩니다. 길이가 같다면 질량에 상관없이 주기가 같으므로 항상 제일 하단부에서 충돌할 것입니다.[footnote]물론 단진자는 흔들리는 양에 따라서 약간 주기가 달라집니다. 또한 지구라면 전향력, 전자기장, 공기저항 등의 영향도 있겠지만, 이 문제에서는 그런 부분에 대해서는 무시하기로 합니다.[/footnote] 이 때 질량은 별로 상관없을 겁니다.
하여튼 제일 하단부에서 충돌하면 반발상수 e에 대항하는 속도로 튕겨진다고 생각합시다. 이런 내용은 고등학교 물리와 같으니까 이해가 잘 되시리라 생각합니다. e가 1이 아닌 이상 충돌을 하면 할수록 진자의 에너지는 줄어들겠죠. 이 때 이 두 진자가 맏닿아 정지하는 것은 언제일까요?
재미있게도 자체의 조건만으로는 영원히 정지할 수 없게 됩니다.
제논의 역설에 따라서 e가 0이 아닌 이상 아무리 작아도 계속 튕겨나가기 때문입니다. 일반적으로 제논의 역설의 풀이에 따라서 시간의 유한성이 적용되어 현실적으로 모든 움직임은 정지해야 합니다. 그런데 진자는 일정한 주기를 갖습니다. 그 주기도 간단하게 결정되죠.[footnote]물론 계산 도중에 근사식을 사용하기 때문에 정확한 주기값은 아닙니다. -_- [/footnote] 따라서 진자가 흔들리는 시간의 합은 유한할 수 없고, 무한대로 발산해 버립니다.
따라서 두 진자는 영원히 튕기는 신세가 될 수밖에 없겠죠.
제논의 역설은 일반적으로 현실에서는 일어날 수 없는 일을 이야기합니다만, 단진자 문제는 현실에서 일어나고 있네요. (물론 양자역학에 의해서 결국 정지하게 되겠지만, 고전역학적 관점에서는 절대 정지하지 않을 것입니다.) 이런 물리계가 또 있을까요? 무수히 많을 것입니다.
이런 예을 찾아보는 것도 재미있겠네요. ^^
온도의 변화에 따른 상변화 역설
시간에 대한 제논의 역설이 아닌 다른 물리량을 통한 역설도 찾을 수 있습니다. 하나 찾아볼까요?
물리적인 상이 변하는 순간의 온도와 비열 그래프를 그리면 오른쪽 그래프처럼 됩니다. 보통 λ곡선이라고 부릅니다. 이 그래프의 의미는 상이 변하는 순간의 비열이 무한대가 된다는 의미입니다. 제논의 역설을 그대로 옮기자면 실험자가 온도를 서서히 내리면 임계온도 Tc에 가까워질수록 온도가 잘 안 떨어지다가 임계온도 Tc 바로 직전에 온도가 도저히 떨어지지 않게 된다는 것입니다.
물론 실제로는 이렇지 않죠. 무한대의 비열이 된다고 하더라도 실제 임계온도 Tc 부근 구간을 나눠서 면적을 구해보면 유한하기 때문에 결국은 임계온도 Tc를 넘을 수 있습니다.
이 예는 제논의 역설의 다른 모습이라고 할 수 있습니다.
이런 예는 찾아보면 꽤 많겠죠. ^_^
아무튼, 극한은 고등학교 2학년 수학시간에 배우지만 실제로 성인들도 생각의 어려움을 겪고 있습니다.
