편미분과 전미분

우리가 고등학교 때부터 배우는 미분이라는 학문은 매우 중요하다. 그리고 이 중요한 요소를 다루는데 있어서 우리는 두 가지 분야가 있다는 것을 알고 있다. 바로 편미분과 전미분이다.

고등학교의 미분은 변수 x와 y가 있을 때 dy/dx 또는 dx/dy로 나타낸다. 여기서 dx와 dy의 분리는 개념적으로는 허용되지 않는다. 고등학교에서는 오직 이러한 미분만 배운다. 하지만, 실질적으로 분수의 분자와 분모와 같이 생각하고 사용해도 하나도 문제가 될 것이 없다.

고등학교에서 이러한 하나의 미분만 다루는 것은 고등학교에서는 변수를 대부분 두 개만 사용해 함수를 다루기 때문이다. 물론 꼭 그렇지는 않은 경우도 있지만, 우리는 그런 경우에도 같은 원리로 해결하라고 학습한다.
함수 f(x,y)가 존재할 때 df/dx나 df/dy를 계산하는 것을 말한다. 일반적으로 df/dx=(df/dy)*(dy/dx)와 같은 형태로 변형해서 계산한다. (엄밀히 말하자면 이 계산은 틀린 것이지만, 고등학교에서는 그냥 이런식으로 사용한다.)

대학교에 진학하여 미적분을 처음 공부할 때 가장 먼저 부딪히는 어려움 중 하나가 편미분의 개념을 받아들이는 것이다. 편미분은 우리가 집중하는 한두 가지 변수 이외의 변수는 마치 상수처럼 취급하는 것을 말한다. 한 편만을 고려한다는 의미에서 우리는 이러한 미분에 편미분이라는 이름을 붙여준 것이다. 고등학교 미분에서 편미분을 다루지 않는 이유가 여기에 있다. 기껏해야 변수 2개만 나오는 고등학교 수학에서는 편미분을 해봤자 그때까지 배운 미분과 똑같기 때문이다.

나는 고등학교 수학에서 편미분을 사용하면 편한 경우를 딱 한 가지 찾은 적이 있다. (물론 더 뒤져보면 많이 나오겠지만…,) 고등학교에서는 공간도형에서 공간상으로 뒤틀린[평행이 아닌] 만나지 않는 두 직선의 최단거리를 구할 때 완전제곱식으로 변환시켜서 구하는 방법과 함수의 최대최소값을 이용하는 방법이 쓰인다. 하지만 편미분을 사용하면 비교적 더 쉽게 계산할 수 있다. 각 직선을 대표하는 변수로 이뤄진 거리 구하는 식을 만든 뒤에 각 변수로 편미분해 버리면 간단한 2 원 1 차 연립방정식이 되는데, 이걸 풀어 변수값을 구하면 문제가 해결된다.

---

편미분과 상반되는 개념인 전미분을 접할 기회가 거의 없는 이유는 전미분만 배우기 때문에 딱히 전미분이라고 부를 필요가 없기 때문이다. 나도 전미분이라는 말을 대학교에 입학한 뒤에 처음 들어봤다.

전미분은 함수안의 모든 변수를 고려하는 것을 말한다. 예를 한 가지 들어볼까 한다.

뉴턴의 유명한 방정식 하나… ‘F=ma’는 누구나 알고 있을 것이다. (F는 힘, m은 질량, a는 가속도) 누군가가 가속도의 법칙이라고 불렀었나?
미적분을 막 배웠던 고등학교 3 학년 때에 이 공식을 다음과 같이 나타낸다.

아주 자연스러운 것처럼 보이는 이 공식이 사실은 한 가지 문제를 품고 있다고 누가 생각할 것인가? 이 문제는 바로 질량 m이 갖고 있는 문제다. 일반적인 생각으로는 질량은 변하지 않을 것처럼 보이지만, 실제로는 질량이 변하지 않는 것은 별로 없다. 예를 들자면 로켓이 가장 큰 예일 것이다. 거창하게 NASA같은 곳에서 쏴올리는 우주왕복선을 생각할 것도 없이 초등학교 때 만드는 물로켓을 생각해 보자. 물로켓은 날아가면서 물을 뒤로 뿜어내기 때문에 질량은 계속해서 줄어든다. 그러므로 저 공식으로는 물로켓이 날아가는 것을 설명할 수가 없게 된다. 이는 질량 m을 상수로 봤기 때문에 나타나는 현상이다. 옳게 표현하자면….

p = mv = m*(dx/dt)
F = dp/dt = d(m*(dx/dt))/dt = (dm/dt)*(dx/dt) + m*(d²x/dt²)

결국 처음 생각했던 것에 질량이 변화하는 한 항이 더 붙어야 좀 더 제대로 된 결과를 얻을 수 있다. 물론 m이 시간에 대해 변하지 않으면(상수이면) 새로 추가된 항은 0이 되어 앞의 수식으로 되돌아갈 것이다.

우리는 수학적으로 편미분을 말할 때 르장드르가 만든 표기법인 ∂를 쓴다. 뉴튼의 표기방식은 사실 상당히 사용하기가 불편하기 때문이다. 앞의 수식을 편미분으로 표현하자면 다음과 같이 될 것이다.

p = mv = m*(∂x/∂t)
F = ∂p/∂t = ∂(m*(∂x/∂t))/∂t = m*(∂²x/∂t²)

m은 편미분에서 상수로 취급해서 관련항이 사라진[0으로 된] 것이다.

ps.
이렇게 미분은 수학적으로 편미분과 전미분으로 나눌 수가 있다.
하지만 편미분을 진도상 늦게 배우기 때문에 미분이라 하면 전미분만을 생각하게 되는 것이다. 일상생활 속에서 이 세 가지 용어(미분, 편미분, 전미분)가 많이 혼용되고 있으니 생활 속에서는 혼용하더라도 기본적인 뜻은 정확히 알아두자.