2.2 수학에서의 분야와 종류

1. 들어가면서….
수학은 크게 기하학, 해석학, 개념의 큰 부류로 나눌 수 있습니다. 이에 대해서 좀 더 자세하게 살펴볼 필요가 있습니다. 이 글에서는 여러 상황에 대해 살펴보려고 합니다. 훨씬 이후 글의 기초가 될 것입니다.

2. 수학이란?
수학이 무엇인지 알 수 있어야 개념이 무엇인지 설명할 수 있을 것 같습니다.
이전 글에서 살펴봤듯이 수학을 한마디로 정의하자면 ‘자연(또는 현실)으로부터 공통점 찾기’라고 설명할 수 있습니다.

예를 들어보면 아프리카 국립공원 밀렵감시원은 동물을 잘 보살펴야 합니다. 동물을 잘 보살피려면 잘 알아야 하고, 끊임없이 관찰해야 합니다. 그런데 사자같은 맹수를 관찰할 때는 문제가 발생합니다. 맹수가 공격할 수도 있으니까요. 감시원은 경험을 통해 어디까지 다가가도 괜찮은지 알아낼 수 있었습니다. 이런 것이 바로 수학입니다. 감시원들은 ‘사자’라는 자연의 공통점을 알아낸 것이지요.
수학을 더 세부적으로 정의하는 문장들도 있습니다.

“수학은 일반적인 현상을 수리화시키는 능력이다.”
“수학은 문장해석력과 계산력을 함께 응용하는 능력이다.”
“수학은 사회현상과 자연현상을 보는 것!”

이 모든 것은 공통점 찾기의 일부분으로 볼 수 있습니다. 수학자들도 수학을 공통점 찾기로 정의한 것은 고작 50년 정도 밖에 안 된 최근의 일입니다.

3. 수학의 구성요소
수학 구성요소는 간단히 수학과 학부/대학원 과정의 과목처럼 나뉠 것입니다. 하지만 다른 시선으로 바라보고자 합니다.

수학은 기하학과 해석학과 개념으로 나눌 수 있고, 더 세분화할 수도 있습니다.
기하학과 해석학은 서로 보완적이면서 독립적이라고 할 수 있습니다. 기하학으로 쉽게 접근할 수 있는 문제도 있고, 해석학으로 쉽게 풀리는 문제도 있습니다. 반대로는 풀기가 매우 어려운 문제도 있습니다.

ⓐ 기하학

ⓑ 해석학

해석학은 숫자를 해석하는 분야입니다. 해석학은 이산수학을 포함한 함수론과 미적분학이 포함되어 있습니다. 더 세부적으로 나누면 몇 가지 추가할 수도 있겠지만 이 글에서는 간단하게 나누겠습니다.

ⓒ 개념

학생에게 있어서 수학 실력을 쌓는데 가장 큰 걸림돌이 바로 개념 정립입니다. 기하학과 해석학은 타고난 기질의 영향을 받지만 고등학교 수학까지는 웬만하면 배울 수 있습니다. 그런데 개념 정립은 길고 긴 시간동안 서서히 쌓아야 하고, 더군다나 타고난 기질 영향을 더 크게 받는 것 같습니다. 개념은 기본 지식에 포함되므로 이전 글에서 말씀드렸듯이 개념이 응용력에 직접적인 영향을 줍니다. 즉 타고난 기질이 노력과 상관없이 큰 점수 차이를 만들기 쉽습니다.

4. 개념이란 무엇인가?
해석학과 기하학이 무엇인지는 바로 알 수 있겠지만 개념은 이해하기 어려우니 좀 더 설명하겠습니다.

개념은 자연의 공통점으로부터 기하학과 해석학 방법을 도출해 내는 과정입니다. 따라서 개념이 정확히 잡히지 않으면 열심히 갈고 닦은 기하학과 해석학을 활용할 기회를 잡을 수 없습니다. 기하학과 해석학을 정립한 사람이 만든 이유[개념]를 정확히 알 때 비로소 쉽게 수학을 공부할 수 있습니다.

해석학은 크게 미적분학과 이산수학(함수론)으로 나눌 수 있습니다.

현대 과학문명 토대라고 해도 과언이 아닌 미적분학은 뉴턴과 라이프니츠가 고안해 낸 개념에서 출발하였고[footnote]엄밀히 말하자면 뉴턴과 라이프니츠가 미적분학을 고안해 내기 전에 이미 대부분의 계산방식은 고안되어 있었습니다. 뉴턴은 맨 마지막에 화룡정점을 했고, 라이프니츠는 일반화를 한 사람이라 생각하면 좋겠습니다.[/footnote] 개념이 꾸준히 확장되고는 있지만 그 출발점에서 크게 벗어나지 않고 있습니다. 따라서 한번 정확히 미적분학 개념을 잡으면 지난 수백 년동안 쌓인 어려운 난이도까지 폭넓게 응용할 수 있으므로 수학을 공부할 때 ‘반드시-열심히’ 공부해야 하는 분야입니다. 엄격히 물리학이나 공학을 공부할 때 필요한 수학 90%는 미적분학입니다.

이산수학은 미적분학처럼 따로 출발한 때가 있는 것이 아니라 고대로부터 차츰 발달해 왔습니다. 여러 가지 문제마다 새로운 개념을 적용시켜야 하므로 이산수학을 조금만 잘 해도 천재 소릴 들을 수 있습니다. 이산수학은 현대 과학문명보다 현실에 더 많이 응용됩니다.
우리가 매일 타고 다니는 자동차와 관련해서도 교통신호, 교통흐름, 도시계획같은 것이 모두 이산수학으로 처리해야 하는 것입니다. 디자이너가 사람 생각을 읽어 각종 제품을 만드는 것도 일종의 이산수학입니다. 각종 게임도 이산수학입니다. 스타크래프트같은 PC게임을 비롯해서 지뢰찾기 같은 퍼즐, 바둑, 장기, 체스, 윳놀이 등 보드게임, 고스톱, 포카, 경마 같은 노름도 이산수학의 한 분야입니다. 로또같은 복권도 이산수학의 한 분야죠. 이런 것을 잘 하는 분은 수학 실력에 상관없이 특정 분야 수학만 잘 하게 된 것입니다. 이산수학 쓰임새가 참으로 다양하죠.

수학 본질이 자연 속에서 공통점을 찾는 것이라면 문제풀이는 실생활에 적용하는 것입니다. 따라서 1차적으로 공통점을 찾는 방법을 배우고, 공통점을 찾는 방법을 실생활에 연결시키는 것이 수학입니다.

(자연으로부터 공통점 발견)                      (공통점으로부터 문제의 해결)

얼개 설명 그림에서처럼 개념은 우리가 자연을 접근하는 패러다임입니다. 그리고 해석학과 기하학은 수학을 생각하는 도구, 즉 언어 같은 것입니다. 뒤집어서 수학도 언어의 일종입니다. 단지 예외가 전혀 없는 좀 특이한 언어인 것이죠.

수학공부라는 것은 자연을 바라보는 패러다임을 배우는 것이라고 할 수 있습니다. 그리고 수학을 연구하는 사람들은 패러다임과 도구를 만드는 사람들이라고 할 수 있습니다.

5. 수학을 타고난 아이들

고대부터 산발적으로 정리되어 전해지던 수학을 처음 체계적으로 정리한 사람은 아르키메데스로 생각됩니다. 그의 수학은 중간에
유실되었다가 나중에 다시 발견됩니다. 후에 유클리드가 다시 수학 체계를 쌓아올립니다. 유클리드 수학이 이전 수학과 다른 점은
연역법과 귀납법을 통한 엄격한 증명 절차를 사용한다는 것입니다. 요즘 수학은 모두 유클리드 방법을 따릅니다. 반면 아르키메데스는 좀
더 직관을 많이 사용합니다. 유클리드 수학이 논리적이고 치밀한 반면 아르키메데스 수학이 좀 더 직감적이고 낭만적입니다.

해석학과 기하학이 각각 좌뇌와 우뇌를 대표한다고 알려진 분야입니다. 그러나 앞에서 의도적으로 해석학과 기하학을 중심으로 수학을 3 개의 부분으로 나눈 것은 아닙니다. 수학을 분석하니 그냥 그런 결과가 나타났습니다. 좌뇌가 해석학 대부분을 처리하여 논리적 치밀함이 생겨납니다. 우뇌가 기하학 대부분을 처리하여 직감과 공간적 창의성이 생깁니다. 반면 개념은 좌뇌와 우뇌가 나누어 처리하는데, 우뇌가 문제 인식을 시작한 뒤, 좌뇌에서 그 정보를 받아 기존 지식에 맞게 처리합니다. 처리 도중에 언어적 개념으로 변환하여 문제 인식을 마무리합니다. 결론적으로 쉬운 문제는 별 상관이 없지만, 어려운 문제일수록 치밀한 분석을, 직감적 기하학 분석과 그래프 분석을 반드시 필요로 합니다. 이 두 가지를 빠르게 처리하기 위해서는 어느 정도 선천적으로 타고 날 필요가 있다고 생각됩니다.
좌뇌와 우뇌도 각각 충분히 발달되야 하지만, 두 뇌를 연결하는 뇌량도 충분히 발달되어야 합니다. 그래서 진짜 수학을 잘하는 사람은 매우 드뭅니다. 이렇게 우리 뇌가 수학이나 과학을 하기에 최적화된 사람을 우리는 ‘타고난 천재’라고 합니다.

전설적인 천재 수학자 폴 에르되시는 이산수학 대가이며, 전설적인 천재 물리학자 리차드 파인만은 미적분학
대가입니다.[footnote]파인만이 만든 파인만 적분론은 저도 공부해 보려고 했지만 너무 어려워서 실패했습니다. 지금도 제
책꽂이 안에서 저를 바라보며 ‘어때 오늘도 한판 할까?’ 하고 절 내려다보고 있답니다.[/footnote] 양자역학에서 중요한 업적을 많이 남긴 페르미도 수학에 천재로 알려져 있습니다. 그 이외에도 다방면에 연구결과를 남긴 가우스, 뉴턴, 레오나르도 다빈치, 베르누이 등 천재도 있습니다. 한편, 발명왕으로 유명한 에디슨의 경우는 해석학은 완전히 못하지만, 창의적 기하학에는 천재로 보입니다.

※ 이 꼭지에서 좌뇌와 우뇌를 나눠서 말씀드렸지만, 전 사실 좌뇌와 우뇌를 구분해서 생각하는 것은 바람직하지 않다고 생각합니다. MRI 영상을 이용하여 뇌 활성화 부위를 찾고, 그것을 바탕으로 좌우뇌를 나눠 생각하는 것인데, 실제 뇌 작동 방법은 이와도 연관이 있긴 하겠지만, 실제로는 좀 더 복잡한 기저가 있어서 아직 정확히 밝혀지지 않고 있을 것이라고 생각합니다.

6. 경기도 교육청의 19단 교육
2002 년 경기도 교육청은 19단 교육을 한다고 갑자기 발표했습니다. 경기도 교육청이 19단을 외우게 한 표면적인 이유는 인도 학교에서 19단을 외우게 하기 때문이었다고 합니다. 인도 사람이 수학을 신기하게 잘 한다는 것은 익히 알려져 있습니다.
수학을 잘 할 수 있는 능력은 수를 잘 이해하는 능력이지 암기한다고 되는 것도 아니고, 숫자 10개를 쓰고, 읽을 줄 안다고 되는 것도 아닙니다. 다시 말해서 수를 얼마나 잘 이해했는지, 변화에 얼마나 민감하게 이해하고, 공통점을 알아낼 수 있는지가 수학공부의 출발점이 됩니다. 그러나 19단은 구구단보다 4 배나 더 암기해야 합니다. 구구단 외우기도 벅찰 나이에 4배나 더 암기해야 한다는 것이 수를 이해하는데 도움이 될까요? 정확히 알 수는 없지만, 회의적인 생각을 하지 않을 수가 없습니다. 19단을 외우게 되면 숫자가 곱해지는 이치에 좀더 익숙해질 지도 모르겠지만, 기본적으로 나열된 숫자를 머릿속에 억지로 집어넣는 일 밖에 되지 않을 것입니다. 인도에서 19단을 외우게 교육시킨다고 해도 그건 다른 교육과정과 잘 융합되어 결과를 나타내는 것입니다. 달랑 19단만 도입한다고 긍정적인 반응을 얻기는 무척 힘들 것이기 때문입니다.

이런 정책은 학부모가 유행에 따라 아이를 교육하는 것처럼 아무런 생각이 없었다고밖에는 생각할 수 없습니다.

7. 맺으면서…

수학 분야를 나누고, 분야마다 공략하는 것은 단기에는 사람에 따라 필요하기도 하고, 필요없기도 합니다. 하지만 장기적 관점에서는 반드시 필요한 것같습니다. 문제는 어떻게 아이 스스로 깨닫고, 자신에 맞는 방법을 찾게 만드는 것입니다. 극히 일부 아이는 스스로 모든 것을 해결하지만, 대부분은 그렇지 못합니다. 만약 아이가 스스로 모든 것을 해결한다면 전문가에게 상담하십시오. 단, 학원같은 곳에서 상담하는 것은 피하십시오. 상담 결과를 왜곡하거든요.

알려진 바에 의하면, 수학은 피아노 같은 리듬악기를 어렸을 때 배우는 것이 좋습니다. 이렇게 알려진 것이
몇 가지 있습니다. 하지만 수에 대해 많은 경험을 하는 것이 수에 대한 중요한 감각을 배우는데 더 중요합니다. 무엇이 좋다는
소문이 많이 돌아다니지만, 그런 것이 진짜 좋으려면 뒷받침할 수 있는 생활이 되야 할 것입니다. 교육에서는 항상 하나씩 분리해서 생각하는 건 무리가 따른다는 걸 염두에 둬야 합니다.

정부는 학부모에게 자녀교육에 대해 상담해 주는 기관을 만들어야 하지 않을까요? 이 기관은 교육부 산하가 아니라 독립된 위치를 유지해야 할 것입니다. 그리고 모든 과목을 잘하는 사람뿐 아니라 특정 과목에 천재적인 사람도 재능을 키울 수 있도록 바뀌어야 합니다. 현재 교육체제는 만능인을 키우는 교육제도인데, 바람직해 보이지 않습니다.