천재가 15 분만에 풀었다는 문제

EBS 다큐프라임 – 공부의 왕도
이게 꽤 긴 시리즈물로 제작되어 방송됐는데, 그 중 6 회에서 나온 문제다.
다큐에서는 주인공이 일반서적에서 발견해 세 달동안 매달려서 풀었다는 것인데, “천재가 15 분만에 풀어냈다”고 한다. 다큐에서 주인공은 홀수의 합은 제곱수가 된다는 성질을 이용해서 풀었다고 한다. 그래서 급 호기심 발동해서 풀기로 했다.

흑….
위 사진은 내가 수첩에 처음 풀었던 것이다. (연필을 쓰지 않은 건 넘어가고….)
이건 그냥 잉여류, 잉계류를 활용하는 문제였을 뿐이고, 옛날 <실력 정석> 참고서에 많이 나오던 문제다. 잉여류, 잉계류는 고등학교 1 학년 2 학기 때 나오는 거라고 기억하는데…. ^^;
정확히는 모르겠지만 7~8 분정도 걸린 것 같다. 고3 때보다 너무 오래 걸린 편이다.

또 답이 하나만 있는 것이 아니고, 무한 개가 있다.

[#M_자세한 풀이방법은 접어두자.|자세한 풀이방법은 접어두자.|우선 풀이사진에서 사선을 그은 것은 풀다가 다시 처음으로 되돌아간 것이다.
첫 번째 줄 : x²-5와 x²+5가 유리수라고 했으니까 이를 각각 (α/m)², (β/m)²으로 놓을 수 있다. 분모가 m으로 같은 것은 원래 유리수라고 했던 것에 x를 집어넣으면 같은 분모를 갖게 될 것이기 때문이다. (즉 처음 하다 취소한 내용에서 이 규칙을 발견했기 때문이다.)그렇게 해서 만든 두 수식에서 x²이 공통적이므로 이를 묶어 비교한다.
두 번째 ~ 네 번째 줄 : 새로 정리한 수식을 정리해서 α, β, m에 관련된 수식으로 정리했다.
다섯 번째 줄 : 좌변은 쉽게 인수분해가 된다. 우변에는 m² 앞에 상수 10이 있는 것이 눈에 띈다. 이런 수식에서는 곱에 대한 측면에서 살펴보는 것이 중요하다.  10은 약수가 1, 2, 5, 10인데, 같은 두 수의 합, 차는 같이 홀수 아니면 짝수가 된다. 따라서 10의 약수에 2가 포함되어 있다는 것은 합과 차가 동시에 짝수가 되야 한다는 것을 뜻하므로 α와 β는 동시에 짝수이거나 홀수여야 한다.
그런데, 좌변이 짝X짝 관계라면 우변의 m도 짝수여야 한다. 따라서 m=2n으로 바꿀 수 있다. n은 역시 정수.
여섯 번째 줄 : 우변의 숫자가 40이 되었으므로 좌변의 인수가 40과 관련된 무엇이어야 한다. 이때 우변의 n은 1을 넣을 수 있는데, 두 개의 n이 각각 좌변 인수의 하나하나에 분산되어 곱해져 있던 인수였을 것이기 때문이다. 그래서 답을 찾아본 바에 의하면 α=7, β=3이 되고, m과 x를 구하면 x=±√(29n)/2라고 구할 수 있다.
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