편미분으로 뒤틀린 3차원 직선의 거리 구하기 (수정)

공간 속에서 뒤틀린 직선 사이의 거리를 구할 때는 좀 고차원적인 개념이기는 하지만 미분을 응용하는 것이 가장 쉽다. 이 방법은 고등학교 때 『수학의 정석』 문제를 풀다가 생각해 낸 방법이다. 그리고 공간에서 꼬인 두 직선 사이의 최단거리를 구하는 방법 중에서는 이 방법이 가장 쉽다.

이 글에서는 미분을 응용하는 방법에 대한 개념을 설명하고, 예를 하나 들어 본다.

개념

두 직선 사이의 거리를 K(x, y)라 하면 K(x, y)는 변수 x와 y로 이루어진 함수이므로 x와 y로 각각편미분할 수 있다. 여기서 편미분은 (서로 영향을 주지 않는다는 뜻으로) x와 y를 서로 독립적으로 생각하여 x로 미분할 때에는 y는 상수로, y로 미분할 때에는 x는 상수로 생각한다는 뜻이다. (예를 들어 상수로 생각하기 때문에 x를 y로 편미분하면 ‘0’이 되며, y를 x로 편미분해도 ‘0’이 된다.) K(x, y)는 최소값을 가질 때 x로 미분했든, y로 미분했든 미분값이 0이어야 할 것이므로

인 두 식을 구할 수 있다.

K(x, y) 함수는 모양에 상관없이 x측에서 바라봐도 y측에서 바라봐도 최소값을 가질 때는 기울기는 항상 0이고 함수값은 같다. 이런 방식으로 변수별로 편미분하여 각각 계산하면 변수마다 하나씩 방정식이 얻어지는데, 이 방정식들을 연립방정식으로 풀면 x와 y를 없애고 최소값을 구할 수 있다.

위의 개념을 잘 이해했다면 직접 몇 문제를 풀어보면 쉽게 이해가 될 것이다.

계산 예 – 뒤틀린 3차원 직선의 거리 구하기

다음의 공간 속의 두 꼬인 직선 사이의 거리를 구하는 예시를 살펴보자.

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두 3차원 직선의 방정식이 다음과 같다고 하자.

여기서 s와 t는 x, y, z 사이의 매개변수로 3차원 직선을 다룰 때 흔히 쓰는 방법이다.¹ 두 직선의 방정식 형태를 살짝 바꾸면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이때 두 직선 사이의 거리는 피타고라스 정리에 의해 다음과 같이 구해진다.

(거리 L을 제곱한 것은 계산의 편의를 위해서다.)

수식이 좀 복잡해졌다. 이 복잡한 수식을 풀 때 고등학교에서는 완전제곱식으로 고쳐 최소값을 구한다. 하지만 완전제곱식을 만드는 것은 어렵고 시간이 오래 걸린다. 그러니 미분이라는 강력한 도구를 사용하자.

우선 L²을 s와 t로 편미분하자.

이렇게 하나의 이원 일차 방정식이 구해진다. 이원 일차 연립방정식은 중학교에서 배우는 것이니까 풀이가 어렵지는 않다. s와 t를 구했으면, 이 값을 다시 L²에 넣으면 거리를 구할 수 있다.

이 문제에선

가 되어 직선 사이의 거리는

이 된다.

정리

이 계산방법을 편미분이라고 한다. 그리고 편미분은 고등학생들이 흔히 쓰는 전미분과 혼동하지 않기 위해서 d를 사용하지 않고 아래와 같이 ∂로 표기한다.

공간도형이 지금의 고등학교 과정에서는 제외되었지만, 다음 교육과정에서는 다시 포함될 것이라고 하니, 배우지 않았다면 몇 번 연습해 두면 좋을 것 같다.

ps. 추가

편미분을 사용하지 않는 방법은 다음과 같은 것이 있다.

• 공식을 만들어 사용하는 방법 (프로그램 만드는 것이 아니라면, 가장 무식한 방법)
• L²을 구해 완전제곱식으로 바꿔서 구하는 방법 (고등학교 표준 방법)
• 한 직선 위 임의의 한 점에서 다른 직선까지의 거리를 구해 최소값을 계산하는 방법 : 앞 방법들과 비슷함
• 선생님에게 물어보는 방법…^^ㅋ
• 두 직선의 방향벡터 외적을 구해서 두 직선에 동시에 수직인 직선을 구하는 방법 (교과과정을 벗어난 이 방법도 학원에서 많이 가르침. 그러나 계산이 복잡하고, 귀찮음)
• 두 직선 밖의 임의의 한 점을 가정하여 두 직선과의 거리 합을 구해 최소값을 구하는 방법
• 하느님께 기도하고 찍는 방법….
• 한 직선을 포함하는 임의의 평면을 가정하여 다른 직선과 교점이 없는 조건을 구하는 방법 (여러 응용이 가능함. 그러나 계산이 엄청 복잡해서 고등학생에게는 안 어울림.)
• 이 문제가 나오지 않게 해 달라고 하느님께 기도하는 방법….ㅎㅎㅎㅎ

1. 다른 방법도 있으므로 한번 연구해 보기 바란다. ↩︎